Um triângulo equilátero
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 97 Ex. 57
Enunciado
Observe a figura onde está representado um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 6 unidades. O ponto C pertence ao eixo das ordenadas.
- Indique as coordenadas dos vértices do triângulo.
- Indique as coordenadas do ortocentro do triângulo (ponto de intersecção das alturas do triângulo).
- Se o triângulo rodar 90º em torno de O, quais serão agora as coordenadas dos seus vértices?
Resolução
Como sabemos, no caso do raio da circunferência ser 1 unidade, as coordenadas dos vértices do triângulo seriam traduzidas pelo cosseno e pelo seno, respetivamente, dos ângulos generalizados com lados extremidades contendo cada um desses vértices.
Como o raio da circunferência é 6 unidades, então essas coordenadas virão multiplicadas por 6.Assim, temos:
– Coordenadas do ponto A:
$(6\cos 210{}^\text{o},6\,sen\,210{}^\text{o})=(-6\times \frac{\sqrt{3}}{2},-6\times \frac{1}{2})=(-3\sqrt{3},-3)$
– Coordenadas do ponto B:
$(6\cos 330{}^\text{o},6\,sen\,330{}^\text{o})=(6\times \frac{\sqrt{3}}{2},-6\times \frac{1}{2})=(3\sqrt{3},-3)$
– Coordenadas do ponto C:
$(6\cos 90{}^\text{o},6\,sen\,90{}^\text{o})=(6\times 0,6\times 1)=(0,6)$
- Como sabemos, o segmento altura do triângulo equilátero é perpendicular à base, no seu ponto médio.
Por outro lado, sabemos que a mediatriz de qualquer corda de uma circunferência contém o seu centro.
Como os lados do triângulo são cordas da mesma circunferência, então as suas mediatrizes contêm as três alturas do triângulo, que se intersectam no seu centro. Logo, o ortocentro do triângulo é O (0,0).
- Se o triângulo rodar 90º em torno de O, as coordenadas dos seus vértices serão:
– A’: $6\cos 300{}^\text{o},6\,sen\,300{}^\text{o})=(6\times \frac{1}{2},-6\times \frac{\sqrt{3}}{2})=(3,-3\sqrt{3})$
– B’: $(6\cos 420{}^\text{o},6\,sen\,420{}^\text{o})=(6\times \frac{1}{2},6\times \frac{\sqrt{3}}{2})=(3,3\sqrt{3})$
– C’: $(6\cos 180{}^\text{o},6\,sen\,180{}^\text{o})=(-6\times 1,-6\times 0)=(-6,0)$
