Category: Aplicando

Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

27 de Março de 2012

Recorrendo à definição de derivada

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 211 Ex. 37

Enunciado

Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, calcule a derivada de $f$ em $a$:

$f:x \to 2{x^2} – 3x$, em $a = – 1$;
$f:x \to {x^3} – 1$, em $a = 0$ e em $a = 1$;
$f:x \to \frac{1}{{{x^2}}}$, em $a = – 2$;
$f:x \to \frac{{3x + 2}}{{x – 5}}$, em $a = 4$;
$f:x \to \sqrt x $, em $a = 4$.

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Teoria de limites / Aplicando / 12.º Ano

26 de Março de 2012

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 87

Enunciado

Calcule, se existir, o limite das funções dadas nos pontos indicados:

$x \to f(x) = {e^{\sqrt[3]{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
$x \to f(x) = {e^{ – {x^2}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
$x \to f(x) = \frac{{{x^5}}}{{{2^x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;
$x \to f(x) = {x^2}\,{e^{\frac{1}{x}}}$, em $ + \infty $ e em $ – \infty $;

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

26 de Março de 2012

Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 35

Enunciado

Seja $g$ a função real de variável real definida por $$g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$$

Prove, usando um processo analítico, que o gráfico da função admite uma assíntota oblíqua.
Prove, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que a função $g$ tem um zero no intervalo $\left] { – 3, – 2} \right[$.

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Teoria de limites / Aplicando / 12.º Ano

25 de Março de 2012

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 210 Ex. 33

Enunciado

Considere a função real de variável real $h$ definida por $$h(x) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{x – 2}}{{x + 1}}}& \Leftarrow &{x < – 2} \\
{\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}}& \Leftarrow &{x \geqslant – 2}
\end{array}} \right.$$

Faça o estudo da continuidade da função $h$.
Prove que a função $h$ tem um zero no intervalo $\left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$.

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

9 de Março de 2012

Considere a função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 27

Enunciado

Considere a função $$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$

Complete o quadro com as imagens dos valores assinalados.

$x$ $-2$ $0$ $1$ $2$

$f(x)$
Justifique a seguinte afirmação:
“A equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.”
Determine, a menos de $0,1$, a maior das raízes.

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

8 de Março de 2012

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 24

Enunciado

Determine $k$ de modo que a reta de equação $y = 3x – 1$ seja assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{k{x^3} – 3{x^2} + x + 1}}{{3{x^2} + 1}}$$

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

8 de Março de 2012

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 23

Enunciado

Mostre que a reta de equação $y = 2x – 1$ é assíntota do gráfico da função $$f:x \to \frac{{2{x^3} – {x^2} – x + 1}}{{{x^2} – 1}}$$

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

8 de Março de 2012

Dadas as funções reais de variável real

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 207 Ex. 21

Enunciado

Dadas as funções reais de variável real, assim definidas:$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = {x^2} + 1}&{\text{e}}&{g(x) = \frac{1}{x}}
\end{array}$$

Determine, em função de $h$, a taxa média de variação de cada uma das funções no intervalo $\left[ {1,1 + h} \right]$, com $h > 0$.
Calcule se existir:
a) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) – f(1)}}{h}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(1 + h) – g(1)}}{h}$

c) $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a

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Teoria de limites / Aplicando / 12.º Ano

2 de Março de 2012

Calcule os seguintes limites, se existirem

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 20

Enunciado

Calcule os seguintes limites, se existirem:

${\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 4x + 3}}{{x + 1}}}$
${\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}$
${\mathop {\lim }\limits_{t \to – \infty } \left( {2{t^3} + {t^2} + 1} \right)}$
${\mathop {\lim }\limits_{m \to – 1} \frac{{{m^3} + 1}}{{m + 1}}}$
${\mathop {\lim }\limits_{r \to 2} \frac{{{r^4} – 16}}{{r – 2}}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left| { –

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Aplicando / 12.º Ano / Teoria de limites

2 de Março de 2012

Limites laterais da função $f$

Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 204 Ex. 14

Enunciado

Sabe-se que $f({u_n}) = 2$ e $f({v_n}) = – 2$ para todas as sucessões $({u_n})$ e $({v_n})$ nas condições seguintes:

$\begin{array}{*{20}{l}} {({u_n} \in {D_f}}& \wedge &{{u_n} > 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{u_n} \to 3} \end{array}$
$\begin{array}{*{20}{l}} {({v_n} \in {D_f}}& \wedge &{{v_n} < 3,}&{\forall n \in \mathbb{N})}& \wedge &{{v_n} \to 3} \end{array}$

Conclua, caso seja possível, quanto à existência e ao valor: