Considere a função

Considere a função real de variável real $h$ definida por $$h(x) \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{x – 2}}{{x + 1}}}& \Leftarrow &{x <  – 2} \\
{\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}}& \Leftarrow &{x \geqslant  – 2}
\end{array}} \right.$$

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1.  Ora, ${D_h} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:\left( {x + 1 \ne 0 \wedge x <  – 2} \right) \vee \left( {x + 3 \ne 0 \wedge x \geqslant  – 2} \right)} \right\} = \mathbb{R}$.

   A função é contínua nos intervalos $\left] { – \infty , – 2} \right[$ e $\left] { – 2, + \infty } \right[$, pois é o quociente de funções polinomiais (contínuas em $\mathbb{R}$), não se anulando a função divisor nos intervalos considerados.

   Investiguemos a continuidade da função em $x =  – 2$:
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} \frac{{x – 2}}{{x + 1}} = 4$$
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} \frac{{ – 2x}}{{x + 3}} = 4$$
   A função é contínua em $x =  – 2$, pois $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} h(x) = f( – 2) = \frac{{ – 2 \times ( – 2)}}{{ – 2 + 3}} = 4$$
   Portanto, a função $h$ é contínua em $\mathbb{R}$.
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2. A função $h$ é contínua em $\left[ { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right]$, pois é contínua em $\mathbb{R}$.

   Como $$f( – \frac{5}{2}) = \frac{{ – 2,5 – 2}}{{ – 2,5 + 1}} = 3$$ e $$f(\frac{1}{2}) = \frac{{ – 2 \times 0,5}}{{0,5 + 3}} =  – \frac{2}{7}$$ então $$f(\frac{1}{2}) < 0 < f( – \frac{5}{2})$$

   Logo, de acordo com o teorema de Bolzano-Cauchy, $\exists x \in \left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[:f(x) = 0$.

   Consequentemente, a função tem um zero (1) (pelo menos) no intervalo $\left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$.

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(1) Provemos que esse zero é único:

Como \[{\left( {\frac{{ – 2x}}{{x + 3}}} \right)^\prime } = \frac{{ – 2\left( {x + 3} \right) + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ – 6}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\] então $$h'(x) < 0,\forall x \in \left] { – \frac{5}{2},\frac{1}{2}} \right[$$ isto é, a função é estritamente decrescente no intervalo considerado.

Logo, admitindo pelo menos um zero nesse intervalo, esse zero será único, visto que a função é estritamente decrescente nesse intervalo.