Considere a função
Teoria de limites: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 27
Enunciado
Considere a função $$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$
- Complete o quadro com as imagens dos valores assinalados.
$x$ $-2$ $0$ $1$ $2$ $f(x)$ - Justifique a seguinte afirmação:
“A equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.” - Determine, a menos de $0,1$, a maior das raízes.
Resolução
$$f:x \to 4{x^3} – 7x + 1$$
-
$x$ $-2$ $0$ $1$ $2$ $f(x)$ $-17$ $1$ $-2$ $19$ - A função $f$ é contínua em $\mathbb{R}$, consequentemente é contínua em qualquer intervalo fechado contido no seu domínio.
Ora, $f( – 2) < 0 < f(0)$, $f(1) < 0 < f(0)$ e $f(1) < 0 < f(2)$.
Logo, de acordo com o teorema de Bolzano, a função admite pelo menos um zero em cada um desses intervalos.
Dado que $f$ é uma função polinomial de grau três, admite três zeros no máximo.
Logo, a equação $f(x) = 0$ tem três e só três raízes: uma pertencente ao intervalo ]-2, 0[, outra pertencente ao intervalo ]0, 1[ e a terceira pertencente ao intervalo ]1, 2[.
- A maior das raízes pertence ao intervalo $\left] {1,2} \right[$.
Calculando o sinal de $f(x)$ para $x = 1,1$, para $x = 1,2$, etc., conclui-se que a raiz procurada pertence ao intervalo $\left] {1,2;1,3} \right[$, pois $f(1,2) < 0 < f(1,3)$.
Um valor aproximado às décimas da raiz procurada é $x = 1,2$.
