Seja $g$ a função real de variável real definida por $g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$

Seja $g$ a função real de variável real definida por $$g(x) = x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}$$

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1. ${D_g} = \left\{ {x \in \mathbb{R}: – \frac{x}{2} \in \mathbb{R}} \right\} = \mathbb{R}$.

   Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {{m_1}}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{g(x)}}{x}} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}}}{x}} \\
   {}& = &{\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {1 – \frac{1}{x} + \frac{{{e^{ – \frac{x}{2}}}}}{x}} \right)} \\
   {}& = &{1 – \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {\frac{1}{x}} \right) + \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left( {\frac{{{e^{ – \frac{x}{2}}}}}{{\frac{x}{2}}}} \right)} \\
   {}& = &{1 + 0 – \frac{1}{2}\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \left( {\frac{{{e^y}}}{y}} \right)}_{ + \infty }} \\
   {}& = &{ – \infty }
   \end{array}$$
   então o gráfico da função não possui assíntota quando $x \to  – \infty $.

   No entanto, o gráfico de $g$ admite como assíntota obíqua a reta de equação $y=x-1$, quando $x \to  + \infty $, pois $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {g(x) – \left( {x – 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{ – \frac{x}{2}}} = 0$$
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2. A função $g$ é contínua em $\mathbb{R}$, pois é a soma de uma função afim com uma função composta de funções contínuas também em $\mathbb{R}$. Consequentemente, a função é também contínua no intervalo $\left[ { – 3, – 2} \right]$.

   Como $$g( – 3) =  – 3 – 1 + {e^{\frac{3}{2}}} =  – 4 + e\sqrt e  > 0$$ e $$g( – 2) =  – 2 – 1 + {e^1} =  – 3 + e < 0$$ então $$g( – 2) < 0 < g( – 3)$$

   Logo, de acordo com o Teorema de Bolzano-Cauchy, $\exists x \in \left] { – 3, – 2} \right[:g(x) = 0$, isto é, a função $g$ admite pelo menos um zero no intervalo considerado.
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Provemos que esse zero é único:

Como \[g’\left( x \right) = {\left( {x – 1 + {e^{ – \frac{x}{2}}}} \right)^\prime } = 1 – \frac{1}{2}{e^{ – \frac{x}{2}}}\] então $$g'(x) < 0,\forall x \in \left] { – 3, – 2} \right[$$ isto é, a função $g$ é estritamente decrescente no intervalo $\left] { – 3, – 2} \right[$.

Logo, admitindo pelo menos um zero nesse intervalo, esse zero será único, visto que a função é estritamente decrescente nesse intervalo.