A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Aplicando

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Números complexos / Aplicando / 12.º Ano

Considere o polinómio

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 37

Enunciado

$$P(z) = 2{z^4} – 3{z^3} + 6{z^2} – 12z – 8\,\,,z \in \mathbb{C}$$

  1. Determine os números reais $a$, $b$ e $c$ tais que, para todo o número complexo $z$, $$P(z) = \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)$$
  2. Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $P(z) = 0$.

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Aplicando / 12.º Ano / Números complexos

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 36

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

  1. $\left( {3 – 4i} \right)z = 2 + i$
  2. $\left( {1 – i} \right)z + 3 + 4i = 5 – 2iz$
  3. ${\left( {1 – i} \right)^2}.\overline z  = 3 – 2i$
  4. ${z^2} – 10z + 74 = 0$

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Números complexos / Aplicando / 12.º Ano

Escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 35

Enunciado

Considere os números complexos $$\begin{array}{*{20}{c}}
{z = 1 – 2i}&{}&{\text{e}}&{}&{w =  – 5 + 3i}
\end{array}$$ e escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes:

  1. $z + w$
  2. $4z – 5w$
  3. $z.w$
  4. $\frac{z}{w}$
  5. ${z^2} – \frac{1}{z}$
  6. $\frac{2}{{{z^3}}}$

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Números complexos / Aplicando / 12.º Ano

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 72 Ex. 38

Enunciado

Sendo ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$ e ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$, mostre que:

  1. $\overline {{z_1} + {z_2}}  = \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} $
  2. $\overline {{z_1}.{z_2}}  = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} $
  3. $\overline {{z_1} – {z_2}}  = \overline {{z_1}}  – \overline {{z_2}} $
  4. $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$, para ${z_2} \ne 0$.

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12.º Ano / Números complexos / Aplicando

Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 69 Ex. 31

Enunciado

Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$:

  1. $\left( {5 – 2i} \right) + \left( {7 + 3i} \right)$
  2. $\left( {2 – 3i} \right) – \left( {4 + 5i} \right)$
  3. $\left( { – 1 + 4i} \right) – \left( { – 6 + i} \right)$

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12.º Ano / Números complexos / Aplicando

A partir de ${i^2} = – 1$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 68 Ex. 27

Enunciado

A partir de ${i^2} =  – 1$

  1. Calcule: ${i^3}$, ${i^4}$, ${i^6}$, ${i^{10}}$, ${i^{96}}$ e ${i^{105}}$.
  2. Para todo o $n \in \mathbb{N}$, calcule: ${i^{4n}}$, ${i^{4n + 1}}$, ${i^{4n + 2}}$ e ${i^{4n + 3}}$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ são as representações gráficas das funções $f$ e $g$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 130 Ex. 14

Enunciado

As curvas ${C_1}$ e ${C_2}$ da figura são as representações gráficas das funções $f$ e $g$ definidas, em $\left[ {0,2\pi } \right]$, respetivamente, por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = \operatorname{sen} x}&{}&{\text{e}}&{}&{g(x) = \operatorname{sen} 2x}
\end{array}$$

  1. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas curvas.
  2. Resolva graficamente as inequações:a) $f(x) – g(x) \geqslant 0$

    b) $f(x) + g(x) \geqslant 0$

    c) $f(x) \times g(x) < 0$

  3. Indique o contradomínio da restrição da função $g$ ao intervalo $\left] {\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi
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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

$C$ é uma semicircunferência

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 13

Enunciado

$C$ é uma semicircunferência de diâmetro [AB], de centro O e de raio $r$.

[OC] é o raio perpendicular a [AB], M é um ponto do arco AC. Designa-se por $\theta $ a medida em radianos do ângulo AOM $\left( {0 \leqslant \theta  \leqslant \frac{\pi }{2}} \right)$.

H é a projeção ortogonal de M sobre OC.

Existirá um ponto M tal que $\overline {AM}  = \overline {MH} $?

Sugestão:

  1. Exprima $\overline {AM} $ e $\overline {MH}
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 129 Ex. 12 (Adaptado)

Enunciado

A figura representa parte da representação gráfica da função $f$ derivável em $\mathbb{R}$.
As retas ${t_1}$ e ${t_2}$ são tangentes ao gráfico de $f$ nos pontos B e A, respetivamente.

Recorrendo ao gráfico:

  1. Resolva a equação $f'(x) = 0$ em $\left[ { – 2,3} \right]$.
  2. Determine o valor de $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2,5} \frac{{f(2,5 + h) – 0,02}}{h}$$
  3. Determine $f'(0)$ e a equação reduzida da reta ${t_1}$.

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