Considere o polinómio
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 37
Enunciado
$$P(z) = 2{z^4} – 3{z^3} + 6{z^2} – 12z – 8\,\,,z \in \mathbb{C}$$
- Determine os números reais $a$, $b$ e $c$ tais que, para todo o número complexo $z$, $$P(z) = \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)$$
- Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $P(z) = 0$.
Resolução
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{P(z)}& = &{\left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)} \\
{}& = &{a{z^4} + b{z^3} + c{z^2} + 4a{z^2} + 4bz + 4c} \\
{}& = &{a{z^4} + b{z^3} + \left( {4a + c} \right){z^2} + 4bz + 4c}
\end{array}$$
Para que os polinómios sejam idênticos, os coeficientes dos termos de igual grau têm de ser iguais: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{b = – 3} \\
{4a + c = 6} \\
{4b = – 12} \\
{4c = – 8}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{b = – 3} \\
{4a + c = 6} \\
{b = – 3} \\
{c = – 2}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{b = – 3} \\
{c = – 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}$$
- Substituindo $a$, $b$ e $c$ pelos valores encontrados, vem: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{P(z) = 0}& \Leftrightarrow &{\left( {{z^2} + 4} \right)\left( {2{z^2} – 3z – 2} \right) = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} + 4 = 0}& \vee &{2{z^2} – 3z – 2 = 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} = – 4}& \vee &{z = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 16} }}{4}}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – 2i}& \vee &{z = 2i}& \vee &{z = – \frac{1}{2}}& \vee &{z = 2}
\end{array}}
\end{array}$$
