Mostre que
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 73 Ex. 41
Mostre, pela definição, que $$\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$$ é uma das raízes quartas de $-1$.
(Recorra ao Binómio de Newton)
Recorrendo ao Binómio de Newton, vem:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}^4}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^4 {{}^4{C_k} \times {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^{4 – k}} \times {{\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)}^k}} } \\
{}& = &{1 \times \frac{4}{{16}} \times 1 + 4 \times \frac{{2\sqrt 2 }}{8} \times \left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right) + 6 \times \frac{2}{4} \times \left( { – \frac{2}{4}} \right)} \\
{}& = &{\frac{1}{4} – i – \frac{3}{2} + i + \frac{1}{4}} \\
{}& = &{ – 1}
\end{array} + 4 \times \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times \frac{{2\sqrt 2 }}{8}i + 1 \times 1 \times \frac{4}{{16}}$$
Como ${\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)^4} = – 1$, então $\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$ é uma das raízes quartas de $-1$.
