Category: Cálculo diferencial

• Enunciado
• R1

Determine uma expressão analítica da derivada de cada uma das funções:

1. $f:x \to {e^{ – 4x}}$
2. $f:x \to {e^{\sqrt {2 + x} }}$
3. $f:x \to {e^x}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)$
4. $f:x \to {e^{\frac{1}{x}}} + {e^{ – \frac{1}{x}}}$
5. $f:x \to \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}$
6. $f:x \to \frac{x}{{{e^x}}}$
7. $f:x \to \ln \left( {3x – 5} \right)$
8. $f:x \leftarrow x\ln x + {e^3}$
9. $f:x \to \ln \left( {\ln x} \right)$
10. $f:x \to \frac{{{x^2}}}{{\ln

• Enunciado
• Resolução

Considere a curva $C$ de equação $$y = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3}}$$

1. Determine as abcissas dos pontos da curva de ordenada 1.
2. Determine uma equação de cada uma das retas tangentes à curva nos pontos obtidos na alínea anterior.
3. Determine as coordenadas do ponto de interseção das duas tangentes.

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• Enunciado
• Resolução

Uma esfera metálica M move-se sobre uma reta r durante 12 segundos.

A sua posição em relação ao ponto O, em função do tempo, é dada pela equação $$d(t) = {t^3} – 16{t^2} + 50t + 40$$ com $d$ em centímetros.

Uma posição $-1$ significa que a esfera se encontra 1 centímetro à esquerda de O e $+1$ significa que se encontra 1 centímetro à direita de O.

1. No instante inicial, em que posição se encontra a

• Enunciado
• Resolução

Esboce o gráfico das funções $f(x) = \frac{1}{2}{x^2}$ e $g(x) = f(x) + 3$ no mesmo referencial.

O que pode dizer a respeito dos declives das retas tangentes aos dois gráficos nos pontos de abcissa $0$, $2$ e ${x_0}$? Porquê?

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• Enunciado
• R1

 Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, calcule a derivada de $f$ em $a$:

1. $f:x \to 2{x^2} – 3x$, em $a =  – 1$;
2. $f:x \to {x^3} – 1$, em $a = 0$ e em $a = 1$;
3. $f:x \to \frac{1}{{{x^2}}}$, em $a =  – 2$;
4. $f:x \to \frac{{3x + 2}}{{x – 5}}$, em $a = 4$;
5. $f:x \to \sqrt x $, em $a = 4$.

R1 >> R1