O perímetro do triângulo [ABC]
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 7
Na figura está representado um triângulo retângulo em B e um ponto D no lado [BC] tal que \(B\widehat AD = B\widehat CA = 30^\circ \).
Sabendo que \(\overline {AD} = 4\) cm, determina o valor exato do perímetro do triângulo [ABC].
No triângulo retângulo [ABD], vem \(\cos B\widehat AD = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AD} }}\), donde:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 30^\circ = \frac{{\overline {AB} }}{4}}& \Leftrightarrow &{\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\overline {AB} }}{4}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AB} = 2\sqrt 3 }\end{array}\]
No triângulo retângulo [ABC], vem \({\mathop{\rm sen}\nolimits} A\widehat CB = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AC} }}\) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat CB = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {BC} }}\), donde temos, respetivamente:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\overline {AC} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{1}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\overline {AC} }}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {AC} = 4\sqrt 3 }\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 30^\circ = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\overline {BC} }}}& \Leftrightarrow &{\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\overline {BC} }}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BC} = 6}\end{array}\]
Logo, em centímetros, o perímetro do triângulo [ABC] é:
\[{P_{\left[ {ABC} \right]}} = \overline {AB} + \overline {BC} + \overline {AC} = 2\sqrt 3 + 6 + 4\sqrt 3 = 6 + 6\sqrt 3 \]
