Determine uma equação da reta tangente ao gráfico
Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 89
Enunciado
- Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = {x^3} + \ln \left( {2x – 3} \right)$ no ponto $T\left( {2,8} \right)$.
- Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de $y = 2x + \ln x$, perpendicular à reta de equação $x + 3y + 1 = 0$.
Resolução
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{y’}& = &{\left( {{x^3} + \ln \left( {2x – 3} \right)} \right)’} \\
{}& = &{3{x^2} + \frac{2}{{2x – 3}}}
\end{array}$$
A derivada de uma função num ponto, caso exista, é igual ao declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto. Logo, ${m_t} = y'(2) = 3 \times {2^2} + \frac{2}{{2 \times 2 – 3}} = 14$.Como $T\left( {2,8} \right)$ é o ponto de tangência, as suas coordenadas têm de verificar a equação $y = 14x + b$, donde $8 = 14 \times 2 + b \Leftrightarrow b = – 20$.
Assim, uma equação da reta pedida é $y = 14x – 20$.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{y’}& = &{\left( {2x + \ln x} \right)’} \\
{}& = &{2 + \frac{1}{x}}
\end{array}$$
Como $x + 3y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = – \frac{1}{3}x – \frac{1}{3}$, a reta dada tem declive $ – \frac{1}{3}$. Logo a reta pedida tem declive ${m_t} = – \frac{1}{{{m_r}}} = 3$.Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{y’ = 3}& \Leftrightarrow &{2 + \frac{1}{x} = 3} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = 1}
\end{array}$$
o ponto de tangência é $T\left( {1,2} \right)$, pelo que as suas coordenadas têm de verificar a equação $y = 3x + b$, donde $2 = 3 \times 1 + b \Leftrightarrow b = – 1$.Assim, uma equação da reta pedida é $y = 3x – 1$.
