Estude e represente graficamente a função

$$f(x) = {\text{senh}}\,x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}$$

• Domínio

 ${D_f} = \mathbb{R}$

• Zeros

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 0}& \Leftrightarrow &{\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{e^x} – {e^{ – x}} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{e^x} = {e^{ – x}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x =  – x} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = 0}
\end{array}$$

A função tem um zero: $x=0$.

• Paridade

$$f( – x) = \frac{{{e^{ – x}} – {e^x}}}{2} =  – \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} =  – f(x),\forall x \in {D_f}$$

A função é ímpar, pois $f( – x) =  – f(x),\forall x \in {D_f}$.

• Assíntotas

A função é contínua em $\mathbb{R}$, logo o seu gráfico não tem assíntotas verticais.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = \frac{1}{2} \times \left( {\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^x}}_{ + \infty } – \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^{ – x}}}_0} \right) =  + \infty $$

Como a função é ímpar, então $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f(x) =  – \infty $.

Logo, o gráfico da função não tem assíntotas horizontais.

$$m = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{2x}} = \frac{1}{2} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{e^x}\left( {1 – {e^{ – 2x}}} \right)}}{x} = \frac{1}{2} \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{e^x}}}{x}}_{ + \infty } \times \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 – {e^{ – 2x}}} \right)}_1 =  + \infty $$

Portanto, o gráfico da função também não tem assíntotas oblíquas.

• Monotonia e extremos

Ora, \[f’\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}\]

Como $f'(x) > 0,\forall x \in {D_f}$, então a função é estritamente crescente no seu domínio.

\[f”\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = \frac{{{e^x}\left( {1 – {e^{ – 2x}}} \right)}}{2} = f(x)\]

• Representação gráfica