$C$ é a curva representativa da função

$C$ é a curva representativa da função $$f:x \to \frac{1}{{1 + x}}$$

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1. A derivada de uma função num ponto, caso exista, é igual ao declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto. Assim, procuramos ${x_0}$ tal que $f'({x_0}) =  – 1$: $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f'({x_0}) =  – 1}& \Leftrightarrow &{ – \frac{1}{{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2}}} =  – 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2} = 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{x_0} =  – 2 \vee {x_0} = 0}
   \end{array}$$
   Portanto, os pontos pedidos são: $A\left( { – 2, – 1} \right)$ e $B(0,1)$.
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2. Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
   {f'({x_0}) = 1}& \Leftrightarrow &{ – \frac{1}{{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2}}} = 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{{\left( {1 + {x_0}} \right)}^2} =  – 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{x_0} \in \left\{ {} \right\}}
   \end{array}$$
   não existem tangentes à curva $C$ paralelas à reta de equação $y = x$, pois $f'({x_0}) \ne 1,\forall {x_0} \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$.
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