Uma parábola e um triângulo

by AMMA · Published 20 de Abril de 2018 · Updated 9 de Janeiro de 2022

Enunciado

Na figura, estão representados, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função quadrática f e o triângulo [OAB].
Sabe-se que:

o ponto O é a origem do referencial;
o ponto A pertence ao gráfico da função f e tem abcissa igual a 2;
o ponto B pertence ao eixo das ordenadas;
o triângulo [OAB] é retângulo em B;
a função f é definida por \(f\left( x \right) = a{x^2}\), sendo a um número positivo.

Admite que a área do triângulo [OAB] é igual a 32.
Determina o valor de a.
Mostra como chegaste à tua resposta.
Admite agora que \(f\left( x \right) = 3{x^2}\).
Resolve a equação \(f\left( x \right) = 5x – 2\).
Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução

Ora, \({y_B} = {y_A} = f\left( 2 \right) = a \times {2^2} = 4a\).
Como a área do triângulo [OAB] é igual a 32, vem:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {OAB} \right]}} = 32}& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline {AB} \times \overline {OB} }}{2} = 32}\\{}& \Leftrightarrow &{\frac{{2 \times 4a}}{2} = 32}\\{}& \Leftrightarrow &{4a = 32}\\{}& \Leftrightarrow &{a = 8}\end{array}\]
Resolvendo a equação, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 5x – 2}& \Leftrightarrow &{3{x^2} = 5x – 2}\\{}& \Leftrightarrow &{3{x^2} – 5x + 2 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{5 \mp \sqrt {25 – 24} }}{6}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{5 \mp 1}}{6}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{3}}& \vee &{x = 1}\end{array}}\end{array}\]