Lança-se um dado equilibrado
Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
Enunciado
Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
- Considere os acontecimentos A e B.
A: «sair face par»
B: «sair um número menor do que 4»
Indique o valor da probabilidade condicionada $P(B|A)$.
Justifique a sua resposta.
- Considere agora que o dado é lançado três vezes.
Qual é a probabilidade de a face 6 sair, pela primeira vez, precisamente no terceiro lançamento?
Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondada às décimas.
Resolução
- $P(B|A)$ é a probabilidade de «sair um número menor do que 4», sabendo que «saiu face par».
Ora, se «saiu face par», o conjunto dos resultados possíveis é $\left\{ 2,4,6 \right\}$. Logo, há apenas um resultado favorável ao acontecimento «sair um número menor do que 4».
Assim, $P(B|A)=\frac{1}{3}$.
- Seja C: “sair face 6”.
A probabilidade pedida é $P(\overline{{{C}_{1}}}\cap \overline{{{C}_{2}}}\cap {{C}_{3}})$, onde os índices se referem à ordem do lançamento do dado.
Nessa experiência existem $6\times 6\times 6={{6}^{3}}$ resultados possíveis e apenas $5\times 5\times 1={{5}^{2}}$ favoráveis.
Logo, pela Lei de Laplace, é $P(\overline{{{C}_{1}}}\cap \overline{{{C}_{2}}}\cap {{C}_{3}})=\frac{25}{216}$, isto é, aproximadamente, 11,6%.
Considerendo que os acontecimentos ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ e ${{C}_{3}}$ são independentes, podemos ainda calcular essa probabiladade da seguinte forma: \[P(\overline{{{C}_{1}}}\cap \overline{{{C}_{2}}}\cap {{C}_{3}})=P(\overline{{{C}_{1}}})\times P(\overline{{{C}_{2}}})\times P({{C}_{3}})=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}\]
