O desenho do João
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 10
O João fez um desenho numa folha de papel com 22 cm por 28 cm e colocou-lhe uma moldura de cartolina de largura constante, como vês na figura.
A área dessa moldura era de 336 cm2.
Qual foi a largura da moldura que o João colocou?
Explica o teu raciocínio
Seja x, em centímetros, a largura da moldura.
Comecemos por exprimir a área da moldura, em função de x, utilizando uma decomposição em 4 retângulos e 4 quadrados:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Moldura}}}& = &{2 \times \left( {28 \times x} \right) + 2 \times \left( {22 \times x} \right) + 4 \times \left( {x \times x} \right)}\\{}& = &{56x + 44x + 4{x^2}}\\{}& = &{4{x^2} + 100x}\end{array}\]
Como a área dessa moldura era de 336 cm2, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Moldura}} = 336}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} + 100x = 336}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} + 100x – 336 = 0}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 25x – 84 = 0}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 25 \mp \sqrt {625 + 336} }}{2}}& \wedge &{x > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 25 – 31}}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 25 + 31}}{2}}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 2}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 3}\end{array}\]
Portanto, a moldura colocada pelo João tinha 3 cm de largura.
