Prove que
Probabilidade condicionada e acontecimentos independentes
Enunciado
Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos possíveis ($A\subset S$ e $B\subset S$).
Sabe-se que:
- $P(A\cap B)=0,1$
- $P(A\cup B)=0,8$
- $P(A|B)=0,25$
Prove que $A$ e $\overline{A}$ são acontecimentos equiprováveis.
Resolução
Como é sabido, $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Donde, substituindo os valores conhecidos, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
0,25=\frac{0,1}{P(B)} & \Leftrightarrow & P(B)=\frac{0,1}{0,25} \\
{} & \Leftrightarrow & P(B)=0,4 \\
\end{array}\]
Por outro lado, sabemos que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Logo, tem-se: \[\begin{array}{*{35}{l}}
0,8=P(A)+0,4-0,1 & \Leftrightarrow & P(A)=0,5 \\
\end{array}\]
Como $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5=P(A)$, então os acontecimentos $A$ e $\overline{A}$ são equiprováveis
