Três emissoras de rádio

Sejam J, M e A, respetivamente, os conjuntos dos ouvintes que ouvem as Rádios Jovem, Moderna e Alegria.

Sabe-se que:

• $\#J\to 0,55$
• $\#M\to 0,38$
• $\#A\to 0,33$
• $\#(J\cap M)\to 0,15$
• $\#(J\cap A)\to 0,11$
• $\#(M\cap A)\to 0,09$
• $\#(J\cap M\cap A)\to 0,04$

Com base nestes valores, podemos completar o diagrama ao lado começando por preencher os valores de baixo para cima e calculando os valores intermédios, tais como, por exemplo: \[\#\left( (M\cap A)-(J\cap M\cap A) \right)=\#M\cap A)-\#(J\cap M\cap A)\to 0,09-0,04\to 0,05\]
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1. a)
   Podemos calcular a probabilidade pedida usando uma propriedade conhecida (também confirmável facilmente a partir do diagrama): \[\begin{array}{*{35}{l}}
   P(A\cup J\cup M) & = & P(A)+P(J)+P(M)-P(A\cap J)-P(A\cap M)-P(J\cap M)+P(A\cap J\cap M)  \\
   {} & = & 0,33+0,55+0,38-0,11-0,09-0,15+0,04  \\
   {} & = & 0,95  \\
   \end{array}\]
   Ou, ainda, usando as várias decomposições que figuram no diagrama: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   P(A\cup J\cup M) & = & 0,33+0,17+0,18+0,07+0,05+0,11+0,04  \\
   {} & = & 0,95  \\
   \end{array}\]

   b)
   Podemos calcular a probabilidade pedida usando propriedades conhecidas (também confirmável facilmente a partir do diagrama): \[\begin{array}{*{35}{l}}
   P(A-(M\cup J)) & = & P(A)-P(A\cap (M\cup J))  \\
   {} & = & P(A)-P((A\cap M)\cup (A\cap J))  \\
   {} & = & P(A)-P(A\cap M)-P(A\cap J)+P((A\cap M)\cap (A\cap J))  \\
   {} & = & P(A)-P(A\cap M)-P(A\cap J)+P(A\cap M\cap J)  \\
   {} & = & 0,33-0,09-0,11+0,04  \\
   {} & = & 0,17  \\
   \end{array}\]
   Ou, ainda, diretamente do diagrama: $P(A-(M\cup J))=0,17$ (zona rosa).
   ­

2. É de 5% a percentagem de pessoas que não ouvem rádio, pois $1-P(A\cup J\cup M)=1-0,95=0,05$.