Observa as figuras e determina os valores de x e de y
Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 23 Ex.1
Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e de y.
a)
Como os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos, então são geometricamente iguais.
Logo, $y=C\widehat{O}D=A\widehat{O}B=30{}^\text{o}$.
A amplitude de um arco de circunferência é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente.
Logo, $x = \mathop {CD}\limits^\frown = C\widehat OD = 30^\circ $.
b)
Como o ângulo AOB é reto, então $A\widehat OB = 90^\circ $.
Logo, $y = 360^\circ – A\widehat OB = 360^\circ – 90^\circ = 270^\circ $.
c)
Como a amplitude de um arco de circunferência é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, temos:$$\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 30 = 2x – 10}& \Leftrightarrow &{x – 2x = – 10 – 30} \\
{}& \Leftrightarrow &{ – x = – 40} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = 40}
\end{array}$$
Portanto, $x = 40^\circ $.
d)
Como a amplitude de um ângulo inscrito é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados, temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{A\widehat BC}& = &{\frac{{\mathop {AC}\limits^\frown }}{2}} \\
{}& = &{\frac{{360^\circ – (\mathop {AB}\limits^\frown + \mathop {BC}\limits^\frown )}}{2}} \\
{}& = &{\frac{{360^\circ – (70^\circ + 130^\circ )}}{2}} \\
{}& = &{80^\circ }
\end{array}$$
Portanto, $x = A\widehat BC = 40^\circ $.
e)
Como [BC] é um diâmetro da circunferência, então o ângulo BAC é um ângulo inscrito num arco de semicircunferência, pelo que é reto.
Logo, $x = B\widehat AC = \frac{{\mathop {BC}\limits^\frown }}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ $.
f)
Os ângulos DAC e DBC são geometricamente iguais, pois são ângulos inscritos num mesmo arco de circunferência (arco DAC).
Logo, $x = y = D\widehat AC = D\widehat BC = \frac{{\mathop {CD}\limits^\frown }}{2} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ $.
g)
Como o arco PQ é correspondente ao ângulo centro POQ, a sua amplitude é: $y = \mathop {PQ}\limits^\frown = P\widehat OQ = 118^\circ $.
Como o ângulo PMQ é um ângulo inscrito, a sua amplitude é: $x = P\widehat MQ = \frac{{\mathop {PQ}\limits^\frown }}{2} = \frac{{118^\circ }}{2} = 59^\circ $.
h)
A amplitude do ângulo ao centro AOC é: $y = A\widehat OC = \mathop {AC}\limits^\frown = 68^\circ $.
Amplitude do ângulo inscrito ABC é: $x = A\widehat BC = \frac{{\mathop {AC}\limits^\frown }}{2} = \frac{{68^\circ }}{2} = 34^\circ $.
