Um português, um francês, um inglês e um belga
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 166 Ex. 9
Considere a experiência aleatória que consiste em sentar, ao acaso, um português, um francês, um inglês e um belga em quatro cadeiras dispostas em fila e registar o modo como se dispuseram.
- Qual é o espaço de resultados desta experiência aleatória?
- Supondo que os acontecimentos elementares são equiprováveis, calcule a probabilidade de:
a) A: “o português ficar numa das extremidades”;
b) B: “o português ficar ao lado do francês”;
c) C: “o português ficar à esquerda do francês”.
- O espaço de resultados é constituído por $4\times 3\times 2\times 1=24$ elementos, visto existirem 4 possibilidades para sentar uma pessoa na cadeira da esquerda, 3 possibilidades para sentar outra pessoa na cadeira imediatamente à direita, 2 possibilidades para sentar outra pessoa na segunda cadeira à direita e, finalmente, 1 possibilidade para sentar outra pessoa na cadeira da extremidade direita. O espaço de resultados é o seguinte conjunto:\[\begin{matrix}
S & = & \{ & \text{(P}\text{,F}\text{,I}\text{,B)}\text{, (P}\text{,F}\text{,B}\text{,I)}\text{, (P}\text{,I}\text{,F}\text{,B)}\text{, (P}\text{,I}\text{,B}\text{,F)}\text{, (P}\text{,B}\text{,F}\text{,I)}\text{, (P}\text{,B}\text{,I}\text{,F)}\text{,} & {} \\
{} & {} & {} & \text{(F}\text{,P}\text{,I}\text{,B)}\text{, (F}\text{,P}\text{,B}\text{,I)}\text{, (F}\text{,I}\text{,P}\text{,B)}\text{, (F}\text{,I}\text{,B}\text{,P)}\text{, (F}\text{,B}\text{,P}\text{,I)}\text{, (F}\text{,B}\text{,I}\text{,P)}\text{,} & {} \\
{} & {} & {} & \text{(I}\text{,P}\text{,F}\text{,B)}\text{, (I}\text{,P}\text{,B}\text{,F)}\text{, (I}\text{,F}\text{,P}\text{,B)}\text{, (I}\text{,F}\text{,B}\text{,P)}\text{, (I}\text{,B}\text{,P}\text{,F)}\text{, (I}\text{,B}\text{,F}\text{,P)}\text{,} & {} \\
{} & {} & {} & \text{(B}\text{,P}\text{,F}\text{,I)}\text{, (B}\text{,P}\text{,I}\text{,F)}\text{, (B}\text{,F}\text{,P}\text{,I)}\text{, (B}\text{,F}\text{,I}\text{,P)}\text{, (B}\text{,I}\text{,P}\text{,F)}\text{, (B}\text{,I}\text{,F}\text{,P)} & \} \\
\end{matrix}\]
O diagrama de árvore pode ser consultado na secção seguinte.
- a)
“O português ficar numa das extremidades” pode ocorrer em duas situações distintas: “ficar na extremidade esquerda” (Situação 1) ou “ficar na extremidade direita” (Situação 2).Situação 1: P __ __ __. Existem ${{N}_{1}}=1\times 3\times 2\times 1=6$ resultados favoráveis a esta situação.
Situação 2: __ __ __ P. Existem ${{N}_{2}}=3\times 2\times 1\times 1=6$ resultados favoráveis a esta situação.
Portanto, o número de resultados favoráveis ao acontecimento A: “o português ficar numa das extremidades” é $NCF={{N}_{1}}+{{N}_{2}}=6+6=12$.
Logo, $P(A)=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$.
b)
“O português ficar ao lado do francês” pode ocorrer em 6 situações distintas:PF __ __, FP __ __, __ PF __ __, __ FP __, __ __ PF ou __ __ FP.
Existem 2 resultados favoráveis para cada uma dessas situações (por exemplo, para 1.ª situação: $N=1\times 1\times 2\times 1=2$).
Portanto, o número de resultados favoráveis ao acontecimento B: “o português ficar ao lado do francês” é $NCF=6\times N=6\times 2=12$.
Logo, $P(B)=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$.
c)
“O português ficar à esquerda do francês” pode ocorrer em 3 situações distintas: PF __ __, __ PF __ ou __ __ PF.Existem 2 resultados favoráveis para cada uma dessas situações (por exemplo, para a 1.ª situação: $N=1\times 1\times 2\times 1=2$).
Portanto, o número de resultados favoráveis ao acontecimento C: “o português ficar à esquerda do francês” é $NCF=3\times N=3\times 2=6$.
Logo, $P(C)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.
