Averigue se o triângulo [ABC] é triângulo retângulo
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 18
Averigue se o triângulo [ABC] é triângulo retângulo e isósceles, sendo:
- $A(1,1,\sqrt{2})$, $B(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$ e C o simétrico de A em relação a O, origem do referencial;
- $A(2,1,-3)$, $B(-1,3,4)$ e $C(-3,0,2)$.
- Ora, $C(-1,-1,-\sqrt{2})$.
Como
$\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{{{(\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{{{(-1-\sqrt{2})}^{2}}+{{(-1+\sqrt{2})}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|$,
então $\overline{AB}=\overline{BC}$.Como
$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} & = & (-1+\sqrt{2},-1-\sqrt{2},-\sqrt{2}).(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2},-\sqrt{2}) \\
{} & = & (-1+\sqrt{2})(-1-\sqrt{2})+(-1-\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})+{{(-\sqrt{2})}^{2}} \\
{} & = & {{(-1)}^{2}}-{{(\sqrt{2})}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-{{(\sqrt{2})}^{2}}+2 \\
{} & = & 1-2+1-2+2 \\
{} & = & 0 \\
\end{array}$então os vetores são perpendiculares e, portanto, $A\hat{B}C=90{}^\text{o}$.
Logo, o triângulo [ABC] é retângulo em B e isósceles.
- Ora,
$\overrightarrow{AB}=(-3,2,7)$ e $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{7}^{2}}}=\sqrt{62}$
$\overrightarrow{BC}=(-2,-3,-2)$ e $\left\| \overrightarrow{BC} \right\|=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}=\sqrt{17}$
$\overrightarrow{AC}=(-5,-1,5)$ e $\left\| \overrightarrow{BC} \right\|=\sqrt{{{(-5)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{51}$
Logo, o triângulo [ABC] não é isósceles.
Por outro lado:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=(-3,2,7).(-2,-3,-2)=6-6-14=-14\ne 0$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-3,2,7).(-5,-1,5)=15-2+35=48\ne 0$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=(-2,-3,-2).(-5,-1,5)=10+3-10=3\ne 0$
Logo, o triângulo [ABC] não é retângulo, pois $\begin{array}{*{35}{l}}
A\hat{B}C\ne 90{}^\text{o} & \wedge & B\hat{A}C\ne 90{}^\text{o} & \wedge & A\hat{C}B\ne 90{}^\text{o} \\
\end{array}$.
