Dois cones com mesma base
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 21 Ex. 7
Enunciado
Na figura está representado um sólido decomponível em dois cones com a mesma base (o círculo de diâmetro [AC]).
O quadrilátero [ABCD] é um losango de 72 cm2 de área, cuja diagonal menor ([AC]) mede metade da diagonal maior ([BD]).
- Determina a medida do comprimento das diagonais do losango.
- Calcula o volume do sólido.
Resolução
Em centímetros, são os seguintes os comprimentos das diagonais do losango:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\overline {BD} \times \overline {AC} }}{2} = 72}\\{\overline {BD} = 2 \times \overline {AC} }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2 \times \overline {AC} \times \overline {AC} }}{2} = 72}\\{\overline {BD} = 2 \times \overline {AC} }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {AC} = \sqrt {72} }\\{\overline {BD} = 2 \times \sqrt {72} }\end{array}} \right.}\end{array}\]- Em centímetros cúbicos, é o seguinte o volume do sólido:
\[\begin{array}{*{20}{l}}V& = &{2 \times {V_{Cone}}}\\{}& = &{2 \times \frac{1}{3} \times \pi \times {{\left( {\frac{{\overline {AC} }}{2}} \right)}^2} \times \frac{{\overline {BD} }}{2}}\\{}& = &{2 \times \frac{1}{3} \times \pi \times {{\left( {\frac{{\sqrt {72} }}{2}} \right)}^2} \times \frac{{2\sqrt {72} }}{2}}\\{}& = &{2 \times \frac{1}{3} \times \pi \times \frac{{72}}{4} \times \sqrt {72} }\\{}& = &{12\sqrt {72} \,\pi }\\{}& = &{72\sqrt 2 \,\pi }\end{array}\]
