Um grupo de doze rapazes e oito raparigas

by AMMA · Published 27 de Novembro de 2011 · Updated 25 de Janeiro de 2022

Enunciado

Um grupo de doze rapazes e oito raparigas pretende organizar um clube.

De quantos modos diferentes se pode obter uma direção de cinco elementos com funções indiferenciadas, sabendo que:
a) são todos elegíveis;
b) é formada só por rapazes;
c) é formada só por raparigas;
d) é formada por 3 rapazes e duas raparigas?
Sabendo que a escolha dos elementos para a direção é feita por sorteio e que todos são elegíveis, qual a probabilidade:
a) dos cinco elementos serem todos rapazes;
b) da direção ter, no máximo, dois rapazes?

Resolução

O número de modos diferentes que se pode obter uma direção de cinco elementos com funções indiferenciadas, sabendo que:
a) são todos elegíveis, é ${}^{20}{{C}_{5}}=15504$;

b) é formada só por rapazes, é ${}^{12}{{C}_{5}}=792$;

c) é formada só por raparigas, é ${}^{8}{{C}_{5}}=56$;

d) é formada por 3 rapazes e duas raparigas, é ${}^{12}{{C}_{3}}\times {}^{8}{{C}_{2}}=220\times 28=6160$.
Sabendo que a escolha dos elementos para a direção é feita por sorteio e que todos são elegíveis, a probabilidade:
a) dos cinco elementos serem todos rapazes, é $$p=\frac{{}^{12}{{C}_{5}}}{{}^{20}{{C}_{5}}}=\frac{792}{15504}=\frac{33}{646}\approx 0,051$$

b) da direção ter, no máximo, dois rapazes, é $$p=\frac{{}^{12}{{C}_{0}}\times {}^{8}{{C}_{5}}+{}^{12}{{C}_{1}}\times {}^{8}{{C}_{4}}+{}^{12}{{C}_{2}}\times {}^{8}{{C}_{3}}}{{}^{20}{{C}_{5}}}=\frac{1\times 56+12\times 70+66\times 56}{15504}=\frac{4592}{15504}=\frac{287}{969}\approx 0,296$$