Escreve na forma de fração irredutível
Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 19 Ex. 5
Escreve cada um dos números sob a forma de fração irredutível:
| \( – 1,6\) | \(1,25\) | \( – 3,6\) | \(10,5\) |
| \(0,2\) | \( – 0,49\) | \(3,\left( 4 \right)\) | \(1,\left( 2 \right)\) |
| \( – 0,\left( {56} \right)\) | \(3,\left( {12} \right)\) | \(0,4\left( 5 \right)\) | \(2,3\left( 7 \right)\) |
| \( – 1,6 = – \frac{{16}}{{10}} = – \frac{8}{5}\) | \(1,25 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\) | \( – 3,6 = – \frac{{36}}{{10}} = – \frac{{18}}{5}\) | \(10,5 = 10 + \frac{1}{2} = \frac{{21}}{2}\) |
| \(0,2 = \frac{1}{5}\) | \( – 0,49 = – \frac{{49}}{{100}}\) | \(3,\left( 4 \right) = \frac{{31}}{9}\) | \(1,\left( 2 \right) = \frac{{11}}{9}\) |
| \( – 0,\left( {56} \right) = – \frac{{56}}{{99}}\) | \(3,\left( {12} \right) = \frac{{103}}{{33}}\) | \(0,4\left( 5 \right) = \frac{{41}}{{90}}\) | \(2,3\left( 7 \right) = \frac{{214}}{{90}}\) |
Cálculos relativos às frações irredutíveis das dízimas infinitas periódicas
Vamos apresentar o raciocínio e os cálculos detalhados apenas em relação às três primeiras dízimas infinitas periódicas. Em relação às restantes três dízimas infinitas periódicas, os cálculos apresentados serão breves, mas de maior exigência de cálculo mental (serve de exercício!).
\[3,\left( 4 \right) = \frac{{31}}{9}\]
Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 3,\left( {4} \right)\).
Logo, multiplicando por \(10\) os dois membros da igualdade anterior, vem: \(10x = 34,\left( {4} \right)\).
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{10x}& = &{34,\left( {4} \right)}\\ – &x& = &{3,\left( {4} \right)}\\\hline{}&{9x}& = &{31\quad\;\,\,}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{31}}{{99}}\).
Portanto, \(3,\left( {4} \right) = \frac{{31}}{{9}}\).
\[1,\left( 2 \right) = \frac{{11}}{9}\]
Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 1,\left( {2} \right)\).
Logo, multiplicando por \(10\) os dois membros da igualdade anterior, vem: \(10x = 12,\left( {2} \right)\).
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{10x}& = &{12,\left( {2} \right)}\\ – &x& = &{1,\left( {2} \right)}\\\hline{}&{9x}& = &{11\quad\;\,\,}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{11}}{{9}}\).
Portanto, \(1,\left( {2} \right) = \frac{{11}}{{9}}\).
\[ – 0,\left( {56} \right) = – \frac{{56}}{{99}}\]
Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 0,\left( {56} \right)\).
Logo, multiplicando por \(100\) os dois membros da igualdade anterior, vem: \(100x = 56,\left( {56} \right)\).
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{100x}& = &{56,\left( {56} \right)}\\ – &x& = &{0,\left( {56} \right)}\\\hline{}&{99x}& = &{56\quad\;\;\;\;}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{56}}{{99}}\).
Portanto, \( – 0,\left( {56} \right) = – \frac{{56}}{{99}}\).
\[3,\left( {12} \right) = \frac{{103}}{{33}}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}{100x – x = 312,\left( {12} \right) – 3,\left( {12} \right)}& \Leftrightarrow &{99x = 309}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{103}}{{33}}}\end{array}\]
\[0,4\left( 5 \right) = \frac{{41}}{{90}}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}{100x – 10x = 45,\left( 5 \right) – 4,\left( 5 \right)}& \Leftrightarrow &{90x = 41}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{41}}{{90}}}\end{array}\]
\[2,3\left( 7 \right) = \frac{{214}}{{90}}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}{100x – 10x = 237,\left( 7 \right) – 23,\left( 7 \right)}& \Leftrightarrow &{90x = 214}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{214}}{{90}}}\end{array}\]
