Uma urna contém seis bolas
Probabilidades e combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 166 Ex. 12
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Enunciado
Uma urna contém três bolas brancas, duas bolas vermelhas e uma bola azul.
Tiram-se sucessivamente, e sem reposição, duas bolas da urna.
Determine a probabilidade de cada um dos acontecimentos seguintes:
- A: “as duas bolas extraídas serem brancas”;
- B: “as duas bolas extraídas serem da mesma cor”;
- C: “as duas bolas extraídas serem de cor diferente”;
- D: “uma das bolas extraídas ser azul”;
- E: “nenhuma das bolas extraídas ser vermelha”.
Resolução
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O número de resultados possíveis da experiência aleatória é $NCP=6\times 5=30$, pois existem 6 possibilidades para extrair a primeira bola e apenas 5 possibilidades para extrair a segunda bola, visto não se efetuar reposição da primeira bola extraída.
- Relativamente ao acontecimento A: “as duas bolas extraídas serem brancas”, existem 3 possibilidades para extrair a primeira bola e apenas duas possibilidades para extrair a segunda bola, pelo que $NCF=3\times 2=6$.
Logo, $P(A)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$.
- Relativamente ao acontecimento B: “as duas bolas extraídas serem da mesma cor”, podem ocorrer duas situação: ambas as bolas serem brancas ou ambas as bolas serem vermelhas. Na primeira situação, já vimos na alínea anterior que existem 6 resultados favoráveis. Quanto à segunda situação, existem 2 resultados favoráveis, pois a primeira bola vermelha pode ser extraída de 2 maneiras diferentes, enquanto que a segunda bola apenas pode ser extraída de um modo só. Assim, $NCF=3\times 2+2\times 1=8$.
Logo, $P(B)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$.
- Relativamente ao acontecimento C: “as duas bolas extraídas serem de cor diferente”, podem ocorrer as seguintes situações: BV, VB, BA, AB, VA e AV.
Para a situação BV existem ${{N}_{1}}=3\times 2=6$ resultados favoráveis.
Para a situação VB existem ${{N}_{2}}=2\times 3=6$ resultados favoráveis.
Para a situação BA existem ${{N}_{3}}=3\times 1=3$ resultados favoráveis.
Para a situação AB existem ${{N}_{4}}=1\times 3=3$ resultados favoráveis.
Para a situação VA existem ${{N}_{5}}=2\times 1=2$ resultados favoráveis.
Para a situação AV existem ${{N}_{6}}=1\times 2=2$ resultados favoráveis.
Portanto, $NCF=6+6+3+3+2+2=22$.
Logo, $P(C)=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}$.Nota: Como os acontecimentos B e C são contrários, seria menos laborioso considerar $P(C)=1-P(B)=1-\frac{4}{15}=\frac{11}{15}$.
- Relativamente ao acontecimento D: “uma das bolas extraídas ser azul”, podem ocorrer as 4 últimas consideradas na alínea anterior. Logo, $NCF=3+3+2+2=10$.
Assim, $P(D)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.
- Relativamente ao acontecimento E: “nenhuma das bolas extraídas ser vermelha”, podem ocorrer as seguintes situações: BB, BA e AB. Logo, $NCF=6+3+3=12$ (ver alíneas anteriores).
Assim, $P(E)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.
