Circunferência circunscrita a um triângulo
Lugares geométricos: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 92 Tarefa 7
Nas construções pedidas a seguir utiliza instrumentos de medição e de desenho ou um programa de geometria dinâmica, como, por exemplo, o GeoGebra.
- Constrói um triângulo [XYZ].
- Traça as mediatrizes dos seus três lados. Elas intersetam-se num ponto, C.
- Desenha a circunferência que passa por X e cujo centro é o ponto C.
- Esta circunferência passa pelos três vértices do triângulo. Explica porquê.
Se usares um programa de geometria dinâmica, arrasta um dos pontos e verifica a tua conjetura. - Se tivesses traçado somente duas mediatrizes, terias conseguido desenhar a circunferência anterior? Explica a tua resposta.
De acordo com a representação gráfica obtida na animação de geometria dinâmica, o ponto C é a interseção das mediatrizes dos lados [XY] e [YZ]. Assim, o ponto C é equidistante dos extremos do segmento de reta [XY], bem como dos extremos do segmento de reta [YZ].
Isto é, tem-se: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {CX} = \overline {CY} }\\{\overline {CY} = \overline {CZ} }\end{array}} \right.\). Mas, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {CX} = \overline {CY} }\\{\overline {CY} = \overline {CZ} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overline {CX} = \overline {CZ} \).
Logo, o ponto C é também equidistante dos extremos do segmento de reta [XZ]. Consequentemente, o ponto C é também ponto da mediatriz de [XZ].
Assim sendo, basta traçar as mediatrizes de apenas dois lados do triângulo para determinar o seu circuncentro, que é o centro da circunferência que contém os seus três vértices, pois, como se viu acima, tem-se \({\overline {CX} = \overline {CY} = \overline {CZ} }\).
