Circunferência inscrita num triângulo

Nas construções pedidas a seguir utiliza instrumentos de medição e de desenho ou um programa de geometria dinâmica, como, por exemplo, o GeoGebra.

1. Constrói um triângulo [ABC].
2. Traça as bissetrizes dos três ângulos internos do triângulo [ABC]. Elas intersetam-se num ponto, I.
3. Desenha a circunferência que é tangente a uma dos lados do triângulo e cujo centro é o ponto I.
4. Esta circunferência é tangente aos três lados do triângulo. Explica porquê.
5. Se tiveres traçado apenas duas bissetrizes, terias conseguido traçar a circunferência anterior?
   Explica a tua resposta.

De acordo com a representação gráfica obtida na animação de geometria dinâmica, o ponto I é a interseção das bissetrizes dos ângulos BAC e ABC. Assim, o ponto I é equidistante dos lados do ângulo BAC, bem como dos lados do ângulo ABC.
Isto é, tem-se: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {IP} = \overline {IR} }\\{\overline {IP} = \overline {IQ} }\end{array}} \right.\). Mas, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {IP} = \overline {IR} }\\{\overline {IP} = \overline {IQ} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overline {IQ} = \overline {IR} \).

Logo, o ponto I é também equidistante dos lados do ângulo BCA. Consequentemente, o ponto I é também ponto da bissetriz do ângulo BCA.

Assim sendo, basta traçar as bissetrizes de apenas dois ângulos internos do triângulo para determinar o seu incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois, como se viu acima, tem-se \({\overline {IP} = \overline {IQ} = \overline {IR} }\).