De quanto deve ser o aumento para que a área duplique?

O retângulo tem $2$ unidades de área.

A área do retângulo ampliado pode ser expressa por: $\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.

O valor de $x$ procurado é a solução positiva da equação seguinte:

$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 2 \times 2}& \Leftrightarrow &{{x^2} + 3x + 2 – 4 = 0}\\ {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {{3^2} – 4 \times 1 \times \left( { – 2} \right)} }}{{2 \times 1}}}\\ {}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {17} }}{2}}\\ {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2}} \end{array}} \end{array}$$

Portanto, para que a área do retângulo duplique, o aumento deve ser de ${\frac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2}}$ unidades de comprimento.