Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência

Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_1} = 1} \\
{{r_n} = \frac{{{r_{n – 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]

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A sucessão pode, também, ser definida por:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_1} = 1} \\
{{r_{n + 1}} = \frac{{{r_n}}}{2},\forall n \in \mathbb{N}}
\end{array}} \right.\]

Antes de mais, convém reparar que todo o termo da sucessão é um número positivo, pois o primeiro termo é $1$ e, a partir deste, o termo consecutivo é metade do anterior (o que permite concluir que a sucessão é estritamente decrescente).

Para todo o ${n \in \mathbb{N}}$ e de acordo com o estabelecido na definição por recorrência de $\left( {{r_n}} \right)$, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_{n + 1}} = \frac{{{r_n}}}{2}}& \Leftrightarrow &{{r_{n + 1}} – \frac{{{r_n}}}{2} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{2 \times {r_{n + 1}} – {r_n} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{r_{n + 1}} + {r_{n + 1}} – {r_n} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\boxed{{r_{n + 1}} – {r_n} =  – {r_{n + 1}}}}
\end{array}\]

Como todo termo da sucessão é positivo, então conclui-se que ${r_{n + 1}} – {r_n} < 0,\forall n \in \mathbb{N}$, isto é, que sucessão é estritamente decrescente.