Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$

Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$.

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Consideremos duas sucessões, \(\left( {{a_n}} \right)\) e \(\left( {{b_n}} \right)\), tais que os termos de ordem ímpar de \(\left( {{u_n}} \right)\) são termos da primeira e os termos de ordem par de \(\left( {{u_n}} \right)\) são termos da segunda:

Desta forma, caso as sucessões \(\left( {{a_n}} \right)\) e \(\left( {{b_n}} \right)\) sejam limitadas, então também será limitada a sucessão \(\left( {{u_n}} \right)\).

Essas sucessões podem ser assim definidas:

• \({a_n} =  – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{ – 4n – 8}}{{5n + 3}} = \frac{1}{{{5^n}}} \times \frac{{4n + 8}}{{5n + 3}} = \frac{1}{{{5^n}}} \times \left( {\frac{4}{5} + \frac{{{\textstyle{{28} \over 5}}}}{{5n + 3}}} \right)\)
• \({b_n} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n – 8}}{{5n + 3}} = \frac{1}{{{5^n}}} \times \frac{{4n – 8}}{{5n + 3}} = \frac{1}{{{5^n}}} \times \left( {\frac{4}{5} – \frac{{{\textstyle{{52} \over 5}}}}{{5n + 3}}} \right)\)

Ora, a sucessão \(\left( {{a_n}} \right)\) é estritamente decrescente, pois é o produto de duas sucessões estritamente decrescentes: \({c_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\) e \({d_n} = \frac{4}{5} + \frac{{{\textstyle{{28} \over 5}}}}{{5n + 3}}\).

Como todos os termos da sucessão \(\left( {{a_n}} \right)\) são positivos e \({a_1} = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\), conclui-se que esta sucessão é limitada, pois tem-se: $\boxed{0 < {a_n} \leqslant \frac{3}{{10}},\forall n \in \mathbb{N}}$.

Passemos a estudar a monotonia da sucessão \(\left( {{b_n}} \right)\):

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{b_{n + 1}} – {b_n}}& = &{\frac{1}{{{5^{n + 1}}}} \times \frac{{4\left( {n + 1} \right) – 8}}{{5\left( {n + 1} \right) + 3}} – \frac{1}{{{5^n}}} \times \frac{{4n – 8}}{{5n + 3}}} \\
{}& = &{\frac{1}{{{5^{n + 1}}}} \times \frac{{4n – 4}}{{5n + 8}} – \frac{1}{{{5^n}}} \times \frac{{4n – 8}}{{5n + 3}}} \\
{}& = &{\frac{1}{{{5^n}}}\left( {\frac{{4n – 4}}{{25n + 40}} – \frac{{4n – 8}}{{5n + 3}}} \right)} \\
{}& = &{\frac{1}{{{5^n}}} \times \frac{{20{n^2} + 12n – 20n – 12 – 100{n^2} + 200n – 160n + 320}}{{\left( {25n + 40} \right)\left( {5n + 3} \right)}}} \\
{}& = &{\frac{1}{{{5^n}}} \times \frac{{ – 80{n^2} + 32n + 308}}{{\left( {25n + 40} \right)\left( {5n + 3} \right)}}} \\
{}& = &{\frac{4}{{{5^n}}} \times \frac{{ – 20{n^2} + 8n + 77}}{{\left( {25n + 40} \right)\left( {5n + 3} \right)}}}
\end{array}\]

Determinemos os zeros do polinómio \(P\left( x \right) =  – 20{x^2} + 8x + 77\):

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{P\left( x \right) = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 8 \pm \sqrt {{8^2} + 80 \times 77} }}{{ – 40}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 8 \pm \sqrt {6224} }}{{ – 40}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 8 \pm 4\sqrt {389} }}{{ – 40}}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{1}{5} \pm \frac{{\sqrt {389} }}{{10}}} \\
{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} \approx  – 1,77}& \vee &{{x_2} \approx 2,17}
\end{array}}
\end{array}\]

Face aos valores dos zeros de \(P\left( x \right) =  – 20{x^2} + 8x + 77\), podemos concluir:

\[{b_{n + 1}} – {b_n} < 0,\forall n \in \mathbb{N}\backslash \left\{ {1,2} \right\}\]

Ou seja, ainda que a sucessão \(\left( {{b_n}} \right)\) não seja monótona, ela é uma função decrescente para \(n \in \mathbb{N}\backslash \left\{ {1,2} \right\}\).

Considerando o resultado anterior, considerando que a sucessão \(\left( {{b_n}} \right)\) não possuiu qualquer termo negativo e que ${b_3} = \frac{2}{{1125}}$, podemos concluir: $\boxed{0 < {b_n} \leqslant \frac{2}{{1125}},\forall n \in \mathbb{N}\backslash \left\{ {1,2} \right\}}$.

Dado que ${b_1} =  – \frac{1}{{10}}$ e ${b_2} = 0$, conclui-se que \(\left( {{b_n}} \right)\) é também uma sucessão limitada, pois tem-se: $\boxed{ – \frac{1}{{10}} \leqslant {b_n} \leqslant \frac{2}{{1125}},\forall n \in \mathbb{N}}$.

Assim, como as sucessões \(\left( {{a_n}} \right)\) e \(\left( {{b_n}} \right)\) são limitadas, $\boxed{0 < {a_n} \leqslant \frac{3}{{10}},\forall n \in \mathbb{N}}$ e $\boxed{ – \frac{1}{{10}} \leqslant {b_n} \leqslant \frac{2}{{1125}},\forall n \in \mathbb{N}}$, então também é limitada a sucessão \(\left( {{u_n}} \right)\), não monótona, pois tem-se: $\boxed{ – \frac{1}{{10}} \leqslant {u_n} \leqslant \frac{3}{{10}},\forall n \in \mathbb{N}}$.

No entanto, não esquecendo que nem todos os termos de \(\left( {{a_n}} \right)\) e de \(\left( {{b_n}} \right)\) são termos da sucessão \(\left( {{u_n}} \right)\) e considerando o que já foi exposto anteriormente, podemos ainda restringir o enquadramento dos termos da sucessão \(\left( {{u_n}} \right)\): $\boxed{0 \leqslant {u_n} \leqslant \frac{3}{{10}},\forall n \in \mathbb{N}}$.

Apresenta-se, de seguida, a representação gráfica dos primeiros 10 termos de \(\left( {{u_n}} \right)\).