A sucessão é monótona? E limitada?

A sucessão de termo geral ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n}$ é limitada? E monótona?

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Ora, ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n + 1}& \Leftarrow &{n\,\,{\text{ímpar}}} \\
{n – 1}& \Leftarrow &{n\,\,{\text{par}}}
\end{array}} \right.$.

Como ${u_1} = 2$, ${u_2} = 1$ e ${u_3} = 4$, então a sucessão não é monótona, pois ${u_1} > {u_2} < {u_3}$.

­Seja $M \in {\mathbb{R}^ + }$.

Como a condição ${u_n} > M$ é possível para todo o $M \in {\mathbb{R}^ + }$, então a sucessão não é limitada superiormente, pois existem termos da sucessão que são superiores a $M$.

Portanto, $\left( {{u_n}} \right)$, ainda que limitada inferiormente, não é uma sucessão limitada.