Uma sucessão de termo geral da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$

Encontre uma sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ cujo termo geral seja da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$, com $A$ um número real, tal que:

1. $\left( {{u_n}} \right)$ seja monótona;
2. $\left( {{u_n}} \right)$ não seja monótona.

Prove a sua conjetura.

\[{u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}\]

A animação apresentada acima é bastante sugestiva para encontrar a solução do problema.

1. $\left( {{u_n}} \right)$ é monótona em sentido lato para $A \in \left] { – \infty ,\frac{3}{2}} \right]$.
   A título de exemplo, no caso de $A =  – 1$: ${u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2}$;
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2. $\left( {{u_n}} \right)$ é não monótona para $A \in \left] {\frac{3}{2}, + \infty } \right[$.
   A título de exemplo, no caso de $A = 3$: ${u_n} = {\left( {n – 3} \right)^2}$.

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PROVA:

Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_{n + 1}} – {u_n}}& = &{{{\left( {\left( {n – A} \right) + 1} \right)}^2} – {{\left( {n – A} \right)}^2}} \\
{}& = &{\left( {{{\left( {n – A} \right)}^2} + 2\left( {n – A} \right) + 1} \right) – {{\left( {n – A} \right)}^2}} \\
{}& = &{2n – 2A + 1}
\end{array}\]

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A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ será monótona decrescente em sentido lato se e só se $2n – 2A + 1 \leqslant 0,\forall n \in \mathbb{N}$.

Ora, a condição

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{2n – 2A + 1 \leqslant 0}& \Leftrightarrow &{2n \leqslant 2A – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{n \leqslant A – \frac{1}{2}}
\end{array}\]

não é universal em $\mathbb{N}$, com $A \in \mathbb{R}$.

Portanto, não existe qualquer $A \in \mathbb{R}$ para o qual a sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ seja monótona decrescente.

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A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ será monótona crescente em sentido lato se e só se $2n – 2A + 1 \geqslant 0,\forall n \in \mathbb{N}$.

Ora, a condição

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{2n – 2A + 1 \geqslant 0}& \Leftrightarrow &{2n \geqslant 2A – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{n \geqslant A – \frac{1}{2}}
\end{array}\]

é universal em $\mathbb{N}$ para $A \in \left] { – \infty ,\frac{3}{2}} \right]$.

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Portanto, a sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é monótona crescente para $A \in \left] { – \infty ,\frac{3}{2}} \right]$.

No caso de $A \in \left] {\frac{3}{2}, + \infty } \right[$, a sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é não monótona.