Quatro ângulos internos de um quadrilátero
Circunferência e plígonos: Matematicamente Falando 9 - Pág. 23 Ex.2
Sabendo que PA e PB são tangentes à circunferência e que $\mathop {AB}\limits^\frown = 140^\circ $, determina a amplitude dos quatro ângulos internos do quadrilátero [OAPB].
A reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta que contém o centro da circunferência e o ponto de tangência.
Logo, os ângulos OAP e OBP são retos, pelo que $O\widehat AP = O\widehat BP = 90^\circ $.
O ângulo AOB é um ângulo ao centro, pelo que a sua amplitude é igual à do arco compreendido entre os seus lados.
Portanto, $A\widehat OB = \mathop {AB}\limits^\frown = 140^\circ $.
Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º, temos:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{A\widehat PB}& = &{360^\circ – (P\widehat AO + A\widehat OB + O\widehat BP)} \\
{}& = &{360^\circ – (90^\circ + 140^\circ + 90^\circ )} \\
{}& = &{40^\circ }
\end{array}$$
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero
Comecemos por dividir o quadrilátero [ABCD] em dois triângulos por intermédio da diagonal [BD].
Tendo em consideração que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha + {\beta _1} + {\delta _1}}& = &{180^\circ } \\
{{\beta _2} + \gamma + {\delta _2}}& = &{180^\circ } \\
\hline
{\alpha + ({\beta _1} + {\beta _2}) + \gamma + ({\delta _1} + {\delta _2})}& = &{180^\circ + 180^\circ } \\
{\alpha + \beta + \gamma + \delta }& = &{360^\circ }
\end{array}$$