Quatro ângulos internos de um quadrilátero

A reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta que contém o centro da circunferência e o ponto de tangência.

Logo, os ângulos OAP e OBP são retos, pelo que $O\widehat AP = O\widehat BP = 90^\circ $.

O ângulo AOB é um ângulo ao centro, pelo que a sua amplitude é igual à do arco compreendido entre os seus lados.

Portanto, $A\widehat OB = \mathop {AB}\limits^\frown   = 140^\circ $.

Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{A\widehat PB}& = &{360^\circ  – (P\widehat AO + A\widehat OB + O\widehat BP)} \\
{}& = &{360^\circ  – (90^\circ  + 140^\circ  + 90^\circ )} \\
{}& = &{40^\circ }
\end{array}$$

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 Soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero

Comecemos por dividir o quadrilátero [ABCD] em dois triângulos por intermédio da diagonal [BD].

Tendo em consideração que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  + {\beta _1} + {\delta _1}}& = &{180^\circ } \\
{{\beta _2} + \gamma  + {\delta _2}}& = &{180^\circ } \\
\hline
{\alpha  + ({\beta _1} + {\beta _2}) + \gamma  + ({\delta _1} + {\delta _2})}& = &{180^\circ  + 180^\circ } \\
{\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta }& = &{360^\circ }
\end{array}$$