Prove que a sucessão é limitada

Dada a sucessão de termo geral ${d_n} = \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}$, prove que a sucessão é limitada.

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Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{d_{n + 1}} – {d_n}}& = &{\frac{{3\left( {n + 1} \right) – 5}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} – \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}} \\
{}& = &{\frac{{3n – 2}}{{n + 3}} – \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}} \\
{}& = &{\frac{{3{n^2} + 6n – 2n – 4 – 3{n^2} – 9n + 5n + 15}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}} \\
{}& = &{\frac{{11}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}}
\end{array}\]

Como ${d_{n + 1}} – {d_n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}$, então a sucessão $\left( {{d_n}} \right)$ é estritamente crescente.

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Assim, o seu primeiro termo, ${d_1} = \frac{{3 \times 1 – 5}}{{1 + 2}} =  – \frac{2}{3}$, é mínimo do conjunto dos seus termos, pelo que será: $\boxed{ – \frac{2}{3} \leqslant {d_n},\forall n \in \mathbb{N}}$ (1).

Por outro lado, temos: \[\begin{array}{*{20}{l}}
{{d_n}}& = &{\frac{{3n – 5}}{{n + 2}}} \\
{}& = &{\frac{{3\left( {n + 2} \right) – 11}}{{n + 2}}} \\
{}& = &{\underbrace {3 – \underbrace {\frac{{11}}{{n + 2}}}_{ > 0,\forall n \in \mathbb{N}}}_{ < 3,\forall n \in \mathbb{N}}}
\end{array}\]

Logo, $\boxed{{d_n} < 3,\forall n \in \mathbb{N}}$ (2).

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Assim, tendo em consideração (1) e (2), resulta que $ – \frac{2}{3} \leqslant {d_n} < 3,\forall n \in \mathbb{N}$.

Logo, a sucessão $\left( {{d_n}} \right)$ é limitada, pois é limitado o conjunto dos seus termos.