Duas esferas e um cilindro

1. Na figura está representado o corte efetuado no conjunto cilindro e esferas por um plano que contém o eixo do cilindro e os centros das duas esferas. As secções obtidas são, respetivamente, um retângulo e dois círculos, tangentes entre si, conforme está ilustrado no desenho.  

2. Para cobrir totalmente as duas esferas, o líquido tem de atingir a altura (em centímetros): ${h_1} = \overline {AE}  + \overline {BC}  + \overline {BR} $.

   Como o cateto $\left[ {AC} \right]$ do triângulo retângulo $\left[ {ABC} \right]$ tem $4$ cm de comprimento, então $\overline {BC}  = 3$ cm.

   Logo, ${h_1} = \overline {AE}  + \overline {BC}  + \overline {BR}  = 3 + 3 + 2 = 8$ cm.

   Assim, o volume de líquido (em cm³) necessário para cobrir totalmente as duas esferas é:
   $$\begin{array}{*{20}{l}} {{V_{Líquido}}}& = &{\pi  \times {{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} \times 8 – {V_{Esfera – G}} – {V_{Esfera – P}}}\\ {}& = &{\pi  \times {{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} \times 8 – \frac{4}{3}\pi  \times {3^3} – \frac{4}{3}\pi  \times {2^3}}\\ {}& = &{\pi  \times \left( {81 \times 2 – 36 – \frac{{32}}{3}} \right)}\\ {}& = &{\pi  \times \left( {126 – \frac{{32}}{3}} \right)}\\ {}& = &{\frac{{378 – 32}}{3}\pi }\\ {}& = &{\frac{{346}}{3}\pi } \end{array}$$  

3. Uma análise atenta do desenho permite concluir que, se o líquido cobrir exatamente a esfera maior, fica de fora a metade superior da esfera menor (repare que $\overline {AE}  + \overline {BC}  = 3 + 3 = 6$ cm é igual ao comprimento do diâmetro da esfera maior).

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