Duas bolas

A bola mais pequena poderá passar entre a parede e o solo sem tocar na bola maior se e só se $\overline {OP}  < \overline {OQ} $.

É conveniente reparar que $\left[ {OA} \right]$ e $\left[ {OB} \right]$ são diagonais de quadrados, cujos comprimentos dos lados são, respetivamente, $15$ cm e $r$ cm.

Assim, para $r = \frac{5}{2}$, tem-se:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\overline {OA}  = 15\sqrt 2 }&{\rm{e}}&{\overline {OB}  = \frac{5}{2}\sqrt 2 }
\end{array}$$

Logo, vem:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\overline {OQ}  = \overline {OA}  – \overline {QA}  = 15\sqrt 2  – 15 = 15\left( {\sqrt 2  – 1} \right)}&{\rm{e}}&{\overline {OP}  = \overline {OB}  + \overline {BP}  = \frac{5}{2}\sqrt 2  + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}\\
{\overline {OQ}  \approx 6,213}&e&{\overline {OP}  \approx 6,036}
\end{array}$$

Como $\overline {OP} < \overline {OQ} $, então a bola mais pequena poderá passar entre a parede e o solo sem tocar na bola maior.

Nota 1:
Verifique esta possibilidade na aplicação apresentada acima, fazendo $r = 2,5$.

Nota 2:
Sejam $c$ e $d$, respetivamente, os comprimentos do lado de um quadrado e da sua diagonal. De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se:

$$d = \sqrt {{c^2} + {c^2}}  = \sqrt {2{c^2}}  = c\sqrt 2 $$

Isto é, o comprimento da diagonal de um quadrado é $\sqrt 2 $ vezes o comprimento do seu lado.

Já agora, determine a relação entre o comprimento da diagonal espacial de um cubo e o comprimento da sua aresta.

(Resposta: ${d_e} = a\sqrt 3 $) – Porquê?