A altura de uma torre
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 52 Ex. 11
De um ponto O vê-se o topo de uma torre sob um ângulo de 35 graus.
Avançando 10 metros em direção à torre, o ângulo passa a ser de 58 graus.
Determina a altura da torre arredondada às décimas.
Do triângulo retângulo [ABC], temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {BC} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ = \frac{x}{y}}\\{}& \Leftrightarrow &{y = \frac{x}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ }}}\end{array}\]
Do triângulo [OAB], temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {OB} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ = \frac{x}{{10 + y}}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 10 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ + y \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ }\end{array}\]
Vamos agora eliminar a variável y nesta equação, por substituição da expressão final obtida na resolução feita acima na primeira equação considerada:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ + \frac{x}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ }} \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ }& \Leftrightarrow &{x \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ = 10 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ + x \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ }\\{}& \Leftrightarrow &{x \times \left( {{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ – {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ } \right) = 10 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ }\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{10 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ }}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ – {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ }}}\end{array}\]
Ora, \(\overline {AB} = \frac{{10 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ }}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 58^\circ – {\mathop{\rm tg}\nolimits} 35^\circ }} \approx 12,4\).
Portanto, a torre tem, aproximadamente, 12,4 metros de altura.
