Procura de propriedades dos números
Monómios e polinómios: Matematicamente Falando 8 - Pág. 153 Ex. 5
Enunciado
Numa aula de Matemática, a turma do César envolveu-se na procura de propriedades de números.
A certa altura o César afirmou:
- Escolhe dois números naturais consecutivos e verifica que, para esses números, a afirmação do César é verdadeira.
- Designando por n um número natural, mostra que \({\left( {n + 1} \right)^2} – {n^2}\) é sempre um número que não é múltiplo de dois.
Resolução
Numa aula de Matemática, a turma do César envolveu-se na procura de propriedades de números.
A certa altura o César afirmou:
-
Escolhe dois números naturais consecutivos e verifica que, para esses números, a afirmação do César é verdadeira.
-
Designando por n um número natural, mostra que \({\left( {n + 1} \right)^2} – {n^2}\) é sempre um número que não é múltiplo de dois.
- Sejam 10 e 11 os dois números naturais consecutivos escolhidos.
Ora, \({11^2} – {10^2} = 121 – 100 = 21\), pelo que se verifica a afirmação do César neste caso particular. - Seja n um número natural.
Ora,
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {n + 1} \right)}^2} – {n^2}}& = &{{n^2} + 2n + 1 – {n^2}}\\{}& = &{2n + 1}\end{array}\]
Logo, \({\left( {n + 1} \right)^2} – {n^2}\) é sempre um número que não é múltiplo de dois, pois \({2n + 1}\) designa um número ímpar para todo o n natural.
