O caracol e a alface

Utilize a aplicação apresentada abaixo para investigar o caminho mais curto.

Problema da Formiga

Problema da Formiga
Matemática Viva – Pavilhão do Conhecimento, 2000

A superfície do bloco de madeira mostrado na fotografia é “o mundo” onde vive uma formiga imaginária, que, quando se desloca entre dois pontos quaisquer, escolhe sempre, de entre todos os caminhos possíveis, um mais curto. Uma ponta do fio está presa junto de um dos vértices – A – da base do paralelepípedo.

Tente, com a ajuda do fio e para vários pares de pontos, encontrar os caminhos mais curtos unindo os dois pontos de cada par. Descubra, em particular, um caminho mais curto unindo o vértice A ao vértice que lhe é diametralmente oposto, na face de cima e note que esse caminho não atravessa a face superior.

Tente imaginar qual é, para a formiga, o ponto P mais afastado de A e verifique, com a ajuda do fio, se a sua resposta está correta. Para isso, comece por apertar com os dedos o fio (esticado) junto ao ponto P; se a sua resposta estiver correta, deve poder chegar com esse bocado de fio a todos os outros pontos da superfície (porque estão mais perto de A).

Para saber mais:

• Atractor – Matemática Viva
• Atractor – Ploblema da Formiga
• Interpretandao e tentando resolver o problema

Na figura está representado o cubo $\left[ {ABCDEFGH} \right]$.

Cada um dos pontos $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ e $N$ é ponto médio de uma aresta.

O volume do cubo é igual a $8$.

Considere o trajeto mais curto de $I$ a $J$ que passa pela aresta $\left[ {EF} \right]$. Determine o comprimento desse trajeto.

Sugestão: comece por desenhar uma planificação do cubo, na qual esse trajeto possa ser representado por um segmento de reta.

Resolução:

Como o trajeto pedido passa pela aresta $\left[ {EF} \right]$, é suficiente considerar uma planificação parcial do cubo que inclua as faces superior e de frente.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $\left[ {AIJ} \right]$, temos: $\overline {IJ}  = \sqrt {{{\overline {AI} }^2} + {{\overline {AJ} }^2}}  = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} $.

Portanto, o trajeto mais curto, de acordo com as condições estabelecidas, tem $\sqrt {10} $ unidades de comprimento.

Como é considerado que o caracol se desloca a velocidade constante, o tempo de espera até alcançar a alface será mínimo para o menor trajeto possível.

Planificada a superfície sobre a qual o caracol se desloca para atingir a alface, conclui-se que o menor trajeto corresponde ao segmento de reta $\left[ {{C_2}{A_2}} \right]$:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo assinalado da figura, temos: $$\overline {{C_2}{A_2}}  = \sqrt {{{\left( {1,5 + 0,75 + 0,75 + 1} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5$$

Portanto, para alcançar a sua refeição, o caracol terá de esperar $1$ hora, no mínimo.