Daily Archive: Maio 22, 2012

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Prove que:

1. $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
2. $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.

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Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$.

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Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$

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Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.

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Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$

1. Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
2. Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
3. Obtenha os valores de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$ utilizando outro processo.
   (Sugestão: $\frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3}$)

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