Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57
Enunciado
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$.
Resolução
Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{w^3}}& = &{{{\left( {1 + i} \right)}^3}} \\
{}& = &{{{\left( {\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}} \right)}^3}} \\
{}& = &{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \\
{}& = &{2\sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\operatorname{sen} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right)} \\
{}& = &{2\sqrt 2 \left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right)} \\
{}& = &{ – 2 + 2i} \\
{}& = &z
\end{array}$$
Como ${w^3} = z$, então $w$ é uma raiz cúbica de $z$.
