Monthly Archive: Maio 2012

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Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$

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Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.

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Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$

1. Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
2. Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
3. Obtenha os valores de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$ utilizando outro processo.
   (Sugestão: $\frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3}$)

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Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
{z = \sqrt 2  – \sqrt 2 i}&{\text{e}}&{w =  – \frac{2}{3} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}i}
\end{array}$$ represente na forma trigonométrica.

1. $z$
2. $w$
3. $zw$
4. $\frac{z}{w}$
5. ${w^3}$
6. $\frac{1}{{ – w}}$
7. ${z^2}\overline w $
8. ${z^4}:{w^3}$

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Escreva $z$ na forma trigonométrica:

1. $z = 1 – i\sqrt 3 $
2. $z =  – 1 + i$
3. $z =  – 5$
4. $z = 3i$
5. $z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$
6. $z =  – \sqrt 2  – \sqrt 6 i$
7. $z = \frac{4}{{1 – i\sqrt 3 }}$
8. $z = \frac{2}{{\sqrt 6  – i\sqrt 2 }}$

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Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
{z = 2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}&{\text{e}}&{w = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}
\end{array}$$ determine na forma trigonométrica:

1. $zw$
2. $\frac{z}{w}$
3. ${z^3}$

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Calcule:

1. $${\left( { – 1 – \sqrt 3 i} \right)^6}$$
2. $${\left( {\frac{{2 + 2i}}{{2 – 2i}}} \right)^4}$$
3. $${\left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]^5}$$

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Calcule:

1. $$\frac{{2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}}{{4\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$
2. $$\frac{{ – 2}}{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}$$
3. $$\frac{{ – \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}}{{2\operatorname{cis} \theta }}$$
4. $$\left( {2\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}} \right) \times \left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]$$

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Represente na forma trigonométrica:

1.  $z =  – 3\operatorname{cis} \theta $
2. $z = 2\cos \theta  – 2i\operatorname{sen} \theta $
3. $z =  – \cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta $
4. $z = \frac{1}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} – \theta } \right)}}$

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