Uma demonstração de Arquimedes
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 33 Ex. 16
Enunciado
Arquimedes demonstrou que o volume de um cilindro, em que a altura coincide com o raio da base, é igual à soma do volume do cone, de base e altura iguais à do cilindro, com o volume de semiesfera, de base igual à do cone.
Na figura, o cone e a semiesfera têm a mesma base, cuja área é de 100π cm2.
Calcula:
- o raio da base;
- a altura do cone;
- o volume do sólido formado pelo cone e pela semiesfera;
- o volume do cilindro cuja base e a altura são iguais às do cone.
Resolução
O raio da base é 10 cm:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_b} = 100\pi }& \Leftrightarrow &{\pi {r^2} = 100\pi }\\{}& \Leftrightarrow &{r = 10}\end{array}\]- A altura do cone é 10 cm, pois \(h = r\), visto que o triângulo assinalado na figura é retângulo isósceles.
- O volume do sólido formado pelo cone e pela semiesfera é 1000π cm3:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{Cone + SE}}}& = &{{V_{Cone}} + {V_{SE}}}\\{}& = &{\frac{1}{3} \times \pi \times {{10}^2} \times 10 + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \pi \times {{10}^3}}\\{}& = &{\frac{{1000\pi }}{3} + \frac{{2000\pi }}{3}}\\{}& = &{1000\pi }\end{array}\] - O volume do cilndro cuja base e a altura são iguais às do cone é também 1000π cm3:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{Cilindro}}}& = &{\pi \times {{10}^2} \times 10}\\{}& = &{1000\pi }\end{array}\]
