Qual é a resposta correta

Exercício 1

No plano complexo os afixos ${M_1}$, ${M_2}$ e ${M_3}$ dos números complexos $0$, $z$ e $\frac{1}{z}$ $\left( {z \ne 0} \right)$:

[A] são colineares;

[B] são colineares para alguns números complexos;

[C] nunca são colineares.

 

A resposta correta é B.

Repare que, por exemplo, para $z = 2$ é $\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$, pelos que os afixos ${M_1}$, ${M_2}$ e ${M_3}$ são colineares.

Contudo, para $z = 1 + i$ é $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2}i$, pelo que os afixos ${M_1}$, ${M_2}$ e ${M_3}$ não são colineares.

Exercício 2

Se $\rho  \in {\mathbb{R}^ + }$ e $\theta  \in \mathbb{R}$, o conjugado de $\rho \operatorname{cis} \theta $ é:

[A] $ – \rho \operatorname{cis} \theta $;

[B] $ – \rho \operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)$;

[C] $\rho \operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)$.

A resposta correta é C.

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, então $\overline z  = \rho \operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)$.

Exercício 3

Se $z$ é um número complexo não nulo e $\pi $ é um dos seus argumentos, então:

[A] $z$ é um número real negativo;

[B] $z$ é um número real positivo;

[C] $z$ não é necessariamente um real.

A resposta correta é A.

Se $z = \rho \operatorname{cis} \pi $, com $\rho  \in {\mathbb{R}^ + }$, então $z = \rho \operatorname{cis} \pi  = \rho \left( { – 1 + 0i} \right) =  – \rho $.

Exercício 4

Se o conjugado é igual ao inverso de um número complexo $z$ $\left( {z \ne 0} \right)$, então:

[A] $z$ é real;

[B] $z$ é imaginário puro;

[C] $\left| z \right| = 1$.

A resposta correta é C.

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, então $\overline z  = \rho \operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)$ e $\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| {\text{z}} \right|}^2}}} = \frac{{\rho \operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}{{{\rho ^2}}} = \frac{1}{\rho }\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)$.
Logo, se $\overline z  = \frac{1}{z}$, então $\left| z \right| = 1 = \rho $.