Category: 11.º Ano

Mostre que 0

Mostre que

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18

Enunciado

Mostre que:

  1. a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
     
  2. a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
     
  3. a função definida por $r\left( x
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Uma escultura em cimento

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 5

Enunciado

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações …

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Uma colónia de bactérias

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4

Enunciado

A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

  1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
     
  2. Encontre a lei
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Uma partícula move-se sobre uma reta

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 88 Ex. 2

Enunciado

Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

  1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
     
  2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
     
  3. Calcule a velocidade média
Duas regras de derivação 0

Duas regras de derivação

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Determine regras de derivação que permitam calcular facilmente derivadas de funções do tipo:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

Seja $k$ constante e ${x_0} …

Mostre que as funções são iguais 0

Mostre que as funções são iguais

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 14

Enunciado

Mostre que as funções seguintes são iguais.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 9}}}
\end{array}}&{}&{\text{e}}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
  {g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {\begin{array}{*{20}{c}}…

As funções de Heaviside e rampa 0

As funções de Heaviside e rampa

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 12

Enunciado

 As funções de Heaviside e rampa são definidas, respetivamente, por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0& \Leftarrow &{x < 0} \\
  {\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
  1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}&{\text{e}}&{R\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0& \Leftarrow &{x \leqslant 0} \\ …

Considere as funções $f$ e $g$ 0

Considere as funções $f$ e $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{2}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}\]

  1. Determine o domínio de cada uma delas.
     
  2. Caracterize as funções $f \circ g$, $g \circ f$ e $f \circ f$.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}…

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A função de Heaviside

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 9

Enunciado

Oliver Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850 — Torquay, 3 de fevereiro de 1925) foi um matemático inglês.

A função de Heaviside, muito usada na Física e na Engenharia, é definida por: \[H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0& \Leftarrow &{x < 0} \\
  {\frac{1}{2}}& …

Caracterize as funções 0

Caracterize as funções

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 8

Enunciado

Considere as funções definidas por:

 \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to x + 1}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {h:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ {0,1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{{x^2} – x}}}
\end{array}}
\end{array}\]…

Dadas as funções $f$ e $g$ 0

Dadas as funções $f$ e $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 7

Enunciado

Dadas as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = 2x + 3}&{\text{e}}&{g\left( x \right) =  – {x^2} + 5}
\end{array}\] determine:

  1. $\left( {f \circ f} \right)\left( 1 \right)$
     
  2. $\left( {g \circ g} \right)\left( 2 \right)$
     
  3. $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$
     
  4. $\left(
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O Triatlo do Homem de Ferro

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 6

Enunciado

Gordon Haller venceu a primeira competição do Homem de Ferro em 1978

O Triatlo do Homem de Ferro é uma prova que é constituída por três partes: um percurso de natação com $3,9$ km, seguido de um percurso de ciclismo com $180$ km e, por fim, uma …