Lúnulas de Hipócrates

Lúnulas de Hipócrates

 De acordo com as áreas assinaladas na figura, vem:

$$\begin{array}{*{20}{l}} {{A_{Lúnulas}}}& = &{{A_1} + {A_2}}\\ {}& = &{\left[ {\left( {{A_1} + {A_3}} \right) + \left( {{A_2} + {A_4}} \right)} \right] – \left[ {\left( {{A_3} + {A_4} + {A_5}} \right) – {A_{\left[ {ABC} \right]}}} \right]}\\ {}& = &{\left( {\frac{{{A_{Círculo – Médio}}}}{2} + \frac{{{A_{Círculo – Pequeno}}}}{2}} \right) – \left( {\frac{{{A_{Círculo – Grande}}}}{2} – {A_{\left[ {ABC} \right]}}} \right)}\\ {}& = &{\underbrace {\left( {\frac{{{A_{Círculo – Médio}}}}{2} + \frac{{{A_{Círculo – Pequeno}}}}{2} – \frac{{{A_{Círculo – Grande}}}}{2}} \right)}_{0{\rm{ }}(*)} + {A_{\left[ {ABC} \right]}}}\\ {}& = &{{A_{\left[ {ABC} \right]}}} \end{array}$$

(*)
De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{A_{Círculo – Médio}}}}{2} + \frac{{{A_{Círculo – Pequeno}}}}{2} – \frac{{{A_{Círculo – Grande}}}}{2}}& = &{\frac{{\pi  \times {{\left( {\frac{4}{2}} \right)}^2}}}{2} + \frac{{\pi  \times {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}}{2} – \frac{{\pi  \times {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}}{2}}\\ {}& = &{\frac{{\pi  \times {4^2}}}{8} + \frac{{\pi  \times {3^2}}}{8} – \frac{{\pi  \times {5^2}}}{8}}\\ {}& = &{\frac{\pi }{8}\left( {{4^2} + {3^2} – {5^2}} \right)}\\ {}& = &0 \end{array}$$

Note que este resultado não depende das medidas particulares dos catetos do triângulo retângulo, mas sim do facto de o triângulo [ABC] ser retângulo.