Determine a área total e o volume de cada um dos sólidos
Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 33 Ex. 5
Determine a área total e o volume de cada um dos sólidos.
As medidas estão expressas em cm.
Sólidos geométricos
Sólidos geométricos
5.1.
Planificada a superfície lateral do prisma triangular reto, obtém-se um retângulo com $3 + 4 + 5 = 12$ unidades de comprimento e $4$ unidades de largura (Desenhe essa planificação).
Logo, a área da superfície lateral do sólido é ${A_L} = 12 \times 4 = 48$ centímetros quadrados.
As bases do prisma triangular são triângulos retângulos (Porquê?), com ${A_b} = \frac{{4 \times 3}}{2} = 6$ centímetros quadrados de área.
Portanto, a área da superfície total do prisma triangular é ${A_T} = 48 + 2 \times 6 = 60$ centímetros quadrados.
O volume do prisma triangular é $V = 6 \times 4 = 24$ centímetros cúbicos.
Sólidos geométricos
5.2.
Vamos admitir que as bases do prisma são trapézios isósceles, cujos lados não paralelos são hipotenusas de triângulos retângulos com catetos de comprimentos $1$ e $3$ centímetros (Porquê?), pelo que possuem $\sqrt {10} $ centímetros de comprimento.
Planificada a superfície lateral do prisma trapezoidal reto, obtém-se um retângulo com $5 + \sqrt {10} + 3 + \sqrt {10} = 8 + 2\sqrt {10} $ unidades de comprimento e $9$ unidades de largura.
Logo, a área da superfície lateral do sólido é ${A_L} = \left( {8 + 2\sqrt {10} } \right) \times 9 = 72 + 18\sqrt {10} $ centímetros quadrados.
As bases do prisma são trapézios isósceles com ${A_b} = \frac{{5 + 3}}{2} \times 3 = 12$ centímetros quadrados de área.
Portanto, a área da superfície total do prisma trapezoidal é ${A_T} = 72 + 18\sqrt {10} + 2 \times 12 = 96 + 18\sqrt {10} $ centímetros quadrados.
O volume do prisma trapezoidal é $V = 12 \times 9 = 108$ centímetros cúbicos.
Sólidos geométricos
5.3.
Planificada a superfície lateral do sólido, obtém-se um retângulo com $\frac{3}{4} \times \left( {2 \times \pi \times 6} \right) + 2 \times 6 = 9\pi + 12$ unidades de comprimento e $12$ unidades de largura (Desenhe essa planificação).
Logo, a área da superfície lateral do sólido é ${A_L} = \left( {9\pi + 12} \right) \times 12 = 144 + 108\pi $ centímetros quadrados.
As bases do sólido têm ${A_b} = \frac{3}{4} \times \pi \times {6^2} = 27\pi $ centímetros quadrados de área.
Portanto, a área da superfície total do cilindro truncado é ${A_T} = 144 + 108\pi + 2 \times 27\pi = 144 + 162\pi $ centímetros quadrados.
O volume do cilindro truncado é $V = 27\pi \times 12 = 324\pi $ centímetros cúbicos.
