Dois números inteiros consecutivos

Averigua se existem dois números inteiros consecutivos de tal modo que o quadrado da sua soma seja 36.

­Seja \(p \in \mathbb{Z}\).

Pretendemos saber se tem soluções, no conjunto dos inteiros, a equação \({\left( {p + p + 1} \right)^2} = 36\).

Averiguemos o que se passa:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {p + p + 1} \right)}^2} = 36}& \wedge &{p \in \mathbb{Z}}\end{array}}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2p + 1} \right)}^2} = 36}& \wedge &{p \in \mathbb{Z}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2p + 1 = – 6}& \vee &{2p + 1 = 6}\end{array}} \right)}& \wedge &{p \in \mathbb{Z}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{p = – \frac{7}{2}}& \vee &{p = \frac{5}{2}}\end{array}} \right)}& \wedge &{p \in \mathbb{Z}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{p \in \left\{ {} \right\}}\end{array}\]

Portanto, não existem dois números inteiros consecutivos de tal modo que o quadrado da sua soma seja 36.