Comissão da festa de finalistas
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 175 Ex. 50
Os 25 alunos de uma turma do 12.º ano, dos quais 11 são raparigas, pretendem constituir uma comissão para organizar a festa dos finalistas.
A comissão deve ser formada por 5 rapazes e 3 raparigas.
A delegada de turma deve, obrigatoriamente, fazer parte da comissão.
- Quantas comissões diferentes se podem constituir?
- Depois de constituída a comissão, os oito elementos do grupo vão posar para uma fotografia colocando-se, ao acaso, uns ao lado dos outros. Qual é a probabilidade das raparigas ficarem todas juntas?
- Os cinco rapazes podem ser selecionados de ${}^{14}{{C}_{5}}$ maneiras distintas, a delegada de turma de ${}^{1}{{C}_{1}}$ e as restantes duas raparigas de ${}^{10}{{C}_{2}}$.
Logo, podem-se constituir $$N={}^{14}{{C}_{5}}\times {}^{1}{{C}_{1}}\times {}^{10}{{C}_{2}}=\frac{14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9!}{9!\times 5!}\times 1\times \frac{10\times 9\times 8!}{8!\times 2!}=2002\times 45=90090$$ comissões diferentes.
- Os oito jovens podem dispor-se de $NCP={{P}_{8}}=8!$ maneiras diferentes, colocando-se uns ao lado dos outros.
O grupo das três raparigas pode colocar-se, nessa fila, de 6 maneiras diferentes, isto é, entre a 1.ª e 3.ª posições, entre a 2.ª e a 4.ª posições, até entre a 6.ª e a 8.ª posições: MMM_ _ _ _ _, _ MMM_ _ _ _, …, _ _ _ _ _MMM.
Para cada uma destas disposições, as raparigas podem dispor-se de ${{P}_{3}}=3!$ maneiras diferentes e os 5 rapazes de ${{P}_{5}}=5!$ maneiras diferentes.
Assim, o número de casos favoráveis é $NCF=6\times 3!\times 5!$.
Portanto, a probabilidade das raparigas ficarem todas juntas é $$p=\frac{6\times 3!\times 5!}{8!}=\frac{6\times 6}{8\times 7\times 6}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$$
