Uma cavidade num cilindro
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 6
Um cilindro reto com 40 cm de altura apresenta uma cavidade com a forma de um cone reto cuja base é concêntrica com a base do cilindro e com metade da altura deste.
Sabendo que o raio da base do cilindro mede 25 cm e que supera em 10 cm o raio da base do cone, calcula a área da superfície e o volume do sólido, arredondados às décimas.
Recapitulemos os dados:
- altura do cilindro: \(h = 40\) cm
- altura do cone: \(h’ = 20\) cm
- raio da base do cilindro: \(r = 25\) cm
- raio da base do cone: \(r’ = 15\) cm
Comecemos por determinar o comprimento g, em cm, da geratriz do cone, por aplicação do Teorema de Pitágoras:
\[g = \sqrt {{{\left( {h’} \right)}^2} + {{\left( {r’} \right)}^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\]
A área da superfície do sólido é, aproximadamente, 10681,4 cm2:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_T}}& = &{{A_{Cilindro}} – {A_{BCone}} + {A_{LCone}}}\\{}& = &{\left( {2 \times \pi {r^2} + 2\pi r \times h} \right) – \pi \times {{\left( {r’} \right)}^2} + \pi rg}\\{}& = &{\left( {2 \times \pi \times {{25}^2} + 2\pi \times 25 \times 40} \right) – \pi \times {{15}^2} + \pi \times 15 \times 25}\\{}& = &{3400\pi }\\{}& \approx &{10681,4}\end{array}\]
O volume do sólido é, aproximadamente, 73827,4 cm3:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_T}}& = &{{V_{Cilindro}} – {V_{Cone}}}\\{}& = &{\pi {r^2} \times h – \frac{1}{3} \times \pi \times {{\left( {r’} \right)}^2} \times h’}\\{}& = &{\pi \times {{25}^2} \times 40 – \frac{1}{3} \times \pi \times {{15}^2} \times 20}\\{}& = &{23500\pi }\\{}& \approx &{73827,4}\end{array}\]
